Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; 2)$ và $B(4; -1; 4)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất có tọa độ là

📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; 2)$ và $B(4; -1; 4)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm

Để giải quyết bài toán cực trị khoảng cách dạng tìm $M \in (P)$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất trong hệ tọa độ $Oxyz$, ta xét vị trí tương đối của hai điểm $A, B$ đối với mặt phẳng $(P)$ (ở đây là $(Oxy): z = 0$):

• Trường hợp 1: Nếu $A, B$ nằm khác phía đối với $(Oxy)$ (tức là $z_A \cdot z_B < 0$), khi đó $MA + MB \ge AB$. Dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $AB$ với $(Oxy)$.
• Trường hợp 2: Nếu $A, B$ nằm cùng phía đối với $(Oxy)$ (tức là $z_A \cdot z_B > 0$), ta lấy điểm $B’$ đối xứng với $B$ qua $(Oxy)$. Khi đó $MB = MB’$ với mọi $M \in (Oxy)$, suy ra $MA + MB = MA + MB’ \ge AB’$. Dấu bằng xảy ra khi $M = AB’ \cap (Oxy)$.
• Công thức đối xứng: Điểm đối xứng của $B(x_0; y_0; z_0)$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ là $B'(x_0; y_0; -z_0)$.