📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 2; -1)$, $B(3; -2; 1)$ và $C(0; 2; 4)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $P = MA^2 + MB^2 + 2MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất có tọa độ là
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ hoặc đường thẳng $d$ sao cho biểu thức dạng $S = \alpha MA^2 + \beta MB^2 + \gamma MC^2$ (với $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$) đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất), ta sử dụng phương pháp tâm tỉ cự:
- Bước 1: Tìm điểm $I$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\alpha\overrightarrow{IA} + \beta\overrightarrow{IB} + \gamma\overrightarrow{IC} = \vec{0}$. Tọa độ điểm $I$ được tính theo công thức: $$x_I = \frac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C}{\alpha + \beta + \gamma}, \quad y_I = \frac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C}{\alpha + \beta + \gamma}, \quad z_I = \frac{\alpha z_A + \beta z_B + \gamma z_C}{\alpha + \beta + \gamma}$$
- Bước 2: Chèn điểm $I$ vào biểu thức $S$: $S = (\alpha + \beta + \gamma)MI^2 + \alpha IA^2 + \beta IB^2 + \gamma IC^2$.
- Bước 3: Khi $\alpha + \beta + \gamma > 0$, $S$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ nhỏ nhất, tức là $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(P)$ (hoặc đường thẳng $d$). Hình chiếu của $I(x_I; y_I; z_I)$ lên $(Oxy)$ là $M(x_I; y_I; 0)$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Gọi $I(x_I; y_I; z_I)$ là điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \vec{0}$.
Áp dụng công thức tọa độ tâm tỉ cự, ta có:
$$x_I = \frac{x_A + x_B + 2x_C}{1 + 1 + 2} = \frac{1 + 3 + 2 \cdot 0}{4} = 1$$
$$y_I = \frac{y_A + y_B + 2y_C}{1 + 1 + 2} = \frac{2 + (-2) + 2 \cdot 2}{4} = 1$$
$$z_I = \frac{z_A + z_B + 2z_C}{1 + 1 + 2} = \frac{-1 + 1 + 2 \cdot 4}{4} = 2$$
Suy ra tọa độ điểm $I(1; 1; 2)$.
Biến đổi biểu thức $P$ bằng cách chèn điểm $I$:
$$P = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^2 + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})^2 + 2(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC})^2$$
$$P = 4MI^2 + 2\overrightarrow{MI} \cdot (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC}) + IA^2 + IB^2 + 2IC^2$$
$$P = 4MI^2 + IA^2 + IB^2 + 2IC^2$$
Vì $IA^2 + IB^2 + 2IC^2$ là hằng số không đổi, nên $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài đoạn thẳng $MI$ nhỏ nhất.
Do $M \in (Oxy)$ nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I(1; 1; 2)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$.
Vậy tọa độ điểm cần tìm là $M(1; 1; 0)$.
👉 Chọn đáp án: A
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2; -1; 3)$ và $B(-1; 2; 0)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ sao cho biểu thức $T = MA^2 + 2MB^2$ đạt giá trị nhỏ nhất có tọa độ là
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \vec{0}$. Ta có:
$x_I = \frac{2 + 2(-1)}{3} = 0$, $y_I = \frac{-1 + 2(2)}{3} = 1$, $z_I = \frac{3 + 2(0)}{3} = 1$. Suy ra $I(0; 1; 1)$.
Khi đó $T = 3MI^2 + IA^2 + 2IB^2$. Do đó $T$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất, tức $M$ là hình chiếu vuông góc của $I(0; 1; 1)$ lên mặt phẳng $(Oxz)$. Vậy $M(0; 0; 1)$.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 2: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; -2; 3)$ và $B(3; 0; -1)$. Điểm $M$ thuộc trục $Oz$ cách đều hai điểm $A$ và $B$ có tọa độ là
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Vì $M \in Oz$ nên tọa độ điểm $M$ có dạng $M(0; 0; z)$.
Theo đề bài $MA = MB \Leftrightarrow MA^2 = MB^2 \Leftrightarrow 1^2 + (-2)^2 + (3 – z)^2 = 3^2 + 0^2 + (-1 – z)^2$.
$\Leftrightarrow 14 – 6z + z^2 = 10 + 2z + z^2 \Leftrightarrow 8z = 4 \Leftrightarrow z = \frac{1}{2}$. Vậy $M\left(0; 0; \frac{1}{2}\right)$.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 3: Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (1; -2; 2)$ và $\vec{v} = (2; 2; -1)$. Côsin của góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = -4$.
Độ dài hai vectơ là $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$ và $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = 3$.
Do đó $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{-4}{3 \cdot 3} = -\frac{4}{9}$.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 4: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 2; 0)$, $B(2; 1; 2)$ và $C(-1; 3; 1)$. Tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; -1; 2)$ và $\overrightarrow{DC} = (-1 – x_D; 3 – y_D; 1 – z_D)$.
Suy ra $-1 – x_D = 1 \Rightarrow x_D = -2$; $3 – y_D = -1 \Rightarrow y_D = 4$; $1 – z_D = 2 \Rightarrow z_D = -1$. Vậy $D(-2; 4; -1)$.
👉 Chọn đáp án: A
Để lại phản hồi