Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 2; -1)$, $B(3; 0; 1)$ và $C(0; 3; 2)$. Gọi $M(a; b; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxz)$ sao cho biểu thức $T = MA^2 + MB^2 + 2MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất của $T$.

Bước 1: Xác định điểm $I(x_I; y_I; z_I)$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \vec{0}$.

Ta có công thức tọa độ tâm tỉ cự:

$$x_I = \frac{x_A + x_B + 2x_C}{1 + 1 + 2} = \frac{1 + 3 + 2 \cdot 0}{4} = 1$$$$y_I = \frac{y_A + y_B + 2y_C}{4} = \frac{2 + 0 + 2 \cdot 3}{4} = 2$$$$z_I = \frac{z_A + z_B + 2z_C}{4} = \frac{-1 + 1 + 2 \cdot 2}{4} = 1$$

Suy ra $I(1; 2; 1)$.

Bước 2: Biến đổi biểu thức $T$ theo điểm $I$:

$$T = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^2 + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})^2 + 2(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC})^2$$$$T = 4MI^2 + 2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC}) + IA^2 + IB^2 + 2IC^2$$$$T = 4MI^2 + IA^2 + IB^2 + 2IC^2$$

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của $T$. Vì $IA^2 + IB^2 + 2IC^2$ không đổi nên $T$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ nhỏ nhất.

Do $M \in (Oxz)$ nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I(1; 2; 1)$ lên mặt phẳng $(Oxz)$, suy ra $M(1; 0; 1)$ và $MI_{\min} = |y_I| = 2$.

Bước 4: Tính giá trị nhỏ nhất của $T$:

• $IA^2 = (1-1)^2 + (2-2)^2 + (-1-1)^2 = 4$
• $IB^2 = (3-1)^2 + (0-2)^2 + (1-1)^2 = 8$
• $IC^2 = (0-1)^2 + (3-2)^2 + (2-1)^2 = 3$

Vậy $T_{\min} = 4 \cdot 2^2 + 4 + 8 + 2 \cdot 3 = 16 + 4 + 8 + 6 = 34$.

👉 Chọn đáp án: A