Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;3;0} \right),{\rm{ }}B\left( { – 3;1;4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{3}\). Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng \(\Delta \) và ngoại tiếp mặt cầu đường kính \(AB\). Khi \(\left( N \right)\) có thể tích nhỏ nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( N \right)\) có phương trình dạng \(ax + by + cz + 1 = 0\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng:

DẠNG TOÁN KHỐI TRÒN XOAY BÀI TOÁN THỰC TẾ – THỂ TÍCH HÌNH TRÒN XOAY – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;3;0} \right),{\rm{ }}B\left( { – 3;1;4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{3}\). Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng \(\Delta \) và ngoại tiếp mặt cầu đường kính \(AB\). Khi \(\left( N \right)\) có thể tích nhỏ nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( N \right)\) có phương trình dạng \(ax + by + cz + 1 = 0\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng:

A. \(1.\) 

B. \(3.\) 

C. \(5.\) 

D. \( – 6.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Dễ thấy mặt cầu đường kính AB có tâm \(I\left( { – 1;2;2} \right)\) là trung điểm của AB và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = 3\).

Gọi \(S\) là đỉnh của hình nón \(\left( N \right)\). 

Vì \(S \in \Delta  \Rightarrow S\left( {2 – t; – 1 + t;2 + 3t} \right)\) với \(t \in \mathbb{Z}\).

Gọi H là giao điểm của SI và đường tròn đáy của hình nón \(\left( N \right)\). Đặt \(\widehat {ISK} = \alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Khi đó, hình nón \(\left( N \right)\) có:

+ Chiều cao: \(SH = SI + R = \frac{3}{{\sin \alpha }} + 3 = 3.\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }} + 1} \right)\)

+ Bán kính đáy: \(r = SH.\tan \alpha  = 3\tan \alpha .\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }} + 1} \right)\)

Khi đó, thể tích của khối nón \(\left( N \right)\) là:

\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .9{\tan ^2}\alpha .{\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }} + 1} \right)^2}.3\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }} + 1} \right) = \frac{{18\pi {{\left( {1 + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{2\sin \alpha .\left( {1 – \sin \alpha } \right)}}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:

\(2\sin \alpha .\left( {1 – \sin \alpha } \right) \le {\left( {\frac{{2\sin \alpha  + 1 – \sin \alpha }}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{1 + \sin \alpha }}{2}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {1 + \sin \alpha } \right)}^2}}}{4}\)

Từ đó suy ra: \(V = \frac{{18\pi {{\left( {1 + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{2\sin \alpha .\left( {1 – \sin \alpha } \right)}} \ge \frac{{18\pi {{\left( {1 + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\frac{{{{\left( {1 + \sin \alpha } \right)}^2}}}{4}}} = 72\pi \)

Suy ra: \(\min V = 72\pi  \Leftrightarrow 2\sin \alpha  = 1 – \sin \alpha  \Leftrightarrow \sin \alpha  = \frac{1}{3}\)

Khi đó: \(SI = \frac{3}{{\sin \alpha }} = 9 \Leftrightarrow {\left( {3 – t} \right)^3} + {\left( {t – 3} \right)^2} + 9{t^2} = 81 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3(TM)\\t =  – \frac{{21}}{{10}}(L)\end{array} \right.\)

Suy ra: \(S\left( { – 1;2;11} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SI}  = \left( {0;0; – 9} \right)\).

Mà \(SI = 3IH \Rightarrow \overrightarrow {SI}  = 3\overrightarrow {IH}  \Leftrightarrow \left( {0;0; – 9} \right) = 3\left( {{x_H} + 1;{y_H} – 2;{z_H} – 2} \right) \Leftrightarrow H\left( { – 1;2; – 1} \right)\).

Vậy: Mặt phẳng chứa đáy của hình nón \(\left( N \right)\) đi qua \(H\left( { – 1;2; – 1} \right)\) và nhận VTPT là \(\overrightarrow {SI}  = \left( {0;0; – 9} \right)\) có phương trình là: \(z + 1 = 0\).

Suy ra: \(a + b + c = 1.\)

===========