[Trắc nghiệm VD-VDC Toán 2020] Câu 44:Cho \(F(x) = – x.{e^x}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right).{e^{2x}}\). Tìm họ nguyên hàm của \(f’\left( x \right).{e^{2x}}\)
\(2\left( {1 – x} \right).{e^x} + C\).
B. \(\frac{{1 – x}}{2}.{e^x} + C\).
C. \(\left( {x – 1} \right){e^x} + C\).
D. \(\left( {x – 2} \right){e^x} + C\)
Lời giải
\(F'(x) = {\left( { – x.{e^x}} \right)^’} = – {e^x} – x.{e^x} = {e^x}\left( { – 1 – x} \right) = f\left( x \right){e^{2x}}\)
\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{ – 1 – x}}{{{e^x}}} \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{{ – {e^x} + \left( {1 + x} \right){e^x}}}{{{e^{2x}}}}\)
\( \Rightarrow f’\left( x \right).{e^{2x}} = x.{e^x}\)
Do đó \(\int {f’\left( x \right).{e^{2x}}dx = \int {x.{e^x}dx} } \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)
\(\int {f’\left( x \right).{e^{2x}}dx = \int {x.{e^x}dx} } = x.{e^x} – \int {{e^x}dx} = x.{e^x} – {e^x} + C\)
=\(\left( {x – 1} \right){e^x} + C\).