Một người nông dân có 30 triệu đồng muốn dùng hết số tiền để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để chia khu đất thành hai phần chữ nhật để trồng rau

Một người nông dân có 30 triệu đồng muốn dùng hết số tiền để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để chia khu đất thành hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 120 nghìn đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 100 nghìn đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được (đơn vị ${{m}^{2}}$ )?

Đáp án: 6250

Lời giải: Gọi $x$ $\left( m \right)$ là chiều dài một trong ba mặt hàng rào song song với nhau của hình chữ E ( $x{>}0$ ).
Gọi $y$ $\left( m \right)$ là chiều dài mặt hàng rào của hình chữ E song song với bờ sông ( $y{>}0$ ).
Số tiền để làm hàng rào là: $x.3.100000+y.120000=30000000$ $\Leftrightarrow y=\dfrac{500-5x}{2}$.
Diện tích đất được rào là: $S=x\cdot y=x\cdot \left( \dfrac{500-5x}{2} \right)=250x-\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}$.
Ta có: ${S}’=250-5x$.
${S}’=0\Leftrightarrow 250-5x\Leftrightarrow x=50$.
Bảng biến thiên:
Vậy $\max\limits_{\left( 0;+\infty \right)}S=6250({{m}^{2}})$ khi $x=50\left( m \right)$.