Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ

Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp ( như hình vẽ minh họa). Hỏi dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu $\pi$ ?

Đáp án: 1000

Lời giải: Trả lời: 1000 $\pi$
Gọi $x\left( cm \right);y\left( cm \right)$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ $\left( x,y{>}0;x{
Dải dây ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 120cm.
Ta có: $\left( 2x+y \right).4=120\Leftrightarrow y=30-2x$
Thể tích khối hộp quà là: $V=\pi {{x}^{2}}.y=\pi {{x}^{2}}\left( 30-2x \right)$
Thể tích V lớn nhất khi hàm số $f(x)={{x}^{2}}\left( 30-2x \right)$ với $0{<}x{
$f’\left( x \right)=-6{{x}^{2}}+60x$, cho $f’\left( x \right)=-6{{x}^{2}}+60x=0\Leftrightarrow x=10$
Lập Bảng Biến thiên ta thấy thể tích đạt GTLN là:
$V=1000\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.