📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Một cột điện $CD$ được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc nghiêng $15^\circ$ so với phương nằm ngang. Để giữ cho cột đứng vững, người ta căng một sợi dây cáp thép nối từ đỉnh cột $C$ xuống một cọc neo $A$ nằm dọc theo sườn dốc ở phía dưới chân cột. Biết rằng khoảng cách giữa cọc neo $A$ và chân cột $D$ đo được là $AD = 12\text{ m}$ và góc tạo bởi dây cáp với sườn dốc là $\widehat{CAD} = 30^\circ$. Tính chiều dài của sợi dây cáp $AC$ (tính bằng mét, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Bài toán yêu cầu tính khoảng cách giữa hai vị trí gián tiếp thông qua tam giác bằng cách áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác:
- Xác định góc trong tam giác: Do cột điện $CD$ dựng thẳng đứng (vuông góc với phương nằm ngang) và sườn dốc nghiêng $15^\circ$ so với phương nằm ngang theo chiều dốc lên từ $A$ đến $D$, góc tù tạo bởi cột điện $CD$ và sườn dốc phía dưới $DA$ là: $$\widehat{CDA} = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ$$
- Tổng ba góc trong tam giác: Trong $\triangle ACD$, ta có: $$\widehat{ACD} = 180^\circ – (\widehat{CAD} + \widehat{CDA}) = 180^\circ – (30^\circ + 105^\circ) = 45^\circ$$
- Định lý sin trong tam giác: Tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện là một hằng số: $$\frac{AC}{\sin \widehat{CDA}} = \frac{AD}{\sin \widehat{ACD}} \implies AC = AD \cdot \frac{\sin \widehat{CDA}}{\sin \widehat{ACD}}$$
Phương pháp trên tương tự kỹ thuật được áp dụng trong bài toán quan sát khoảng cách tàu thuyền ngoài khơi bằng định lý sin.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Xét mô hình hình học trong mặt phẳng thẳng đứng chứa cột điện và cọc neo $A$:
Bước 1: Tính số đo các góc của tam giác $ACD$
– Cột điện $CD$ vuông góc với phương nằm ngang.
– Sườn dốc nghiêng một góc $15^\circ$ so với phương nằm ngang.
Do đó, góc giữa thân cột $CD$ và sườn dốc hướng xuống $DA$ bằng:
$$\widehat{CDA} = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ$$
Theo đề bài, góc hợp bởi dây cáp $AC$ và sườn dốc là $\widehat{CAD} = 30^\circ$. Khi đó trong $\triangle ACD$, ta có góc tại đỉnh $C$ bằng: $$\widehat{ACD} = 180^\circ – (\widehat{CAD} + \widehat{CDA}) = 180^\circ – (30^\circ + 105^\circ) = 45^\circ$$
Bước 2: Áp dụng định lý sin để tính chiều dài dây cáp $AC$
Áp dụng định lý sin cho tam giác $ACD$, ta có hệ thức: $$\frac{AC}{\sin \widehat{CDA}} = \frac{AD}{\sin \widehat{ACD}}$$ Suy ra: $$AC = \frac{AD \cdot \sin \widehat{CDA}}{\sin \widehat{ACD}} = \frac{12 \cdot \sin 105^\circ}{\sin 45^\circ}$$
Ta có các giá trị lượng giác chính xác: $$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Thay vào ta được: $$AC = 12 \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} = 6(\sqrt{3} + 1)$$
Tính xấp xỉ: $$AC = 6(1{,}73205… + 1) \approx 16{,}3923…\text{ m}$$
Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, ta thu được $AC \approx 16{,}4\text{ m}$.
👉 Đáp số (kết quả điền số): 16.4
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Để đo chiều cao của một cột cờ trên đỉnh tòa nhà, một bạn học sinh đứng tại điểm $A$ trên mặt đất đo được góc nâng lên chân cột cờ là $30^\circ$ và góc nâng lên đỉnh cột cờ là $45^\circ$. Biết khoảng cách từ điểm $A$ đến chân tòa nhà theo phương nằm ngang là $20\text{ m}$. Chiều cao của cột cờ bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– Chiều cao tòa nhà: $HB = AH \cdot \tan 30^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 11{,}55\text{ m}$.
– Độ cao đỉnh cột cờ so với mặt đất: $HC = AH \cdot \tan 45^\circ = 20 \cdot 1 = 20\text{ m}$.
– Chiều cao cột cờ: $BC = HC – HB = 20 – \frac{20\sqrt{3}}{3} = 20\left(1 – \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 8{,}453…\text{ m}$.
Làm tròn đến hàng phần mười được $8{,}5\text{ m}$.
👉 Đáp số: 8.5
Bài tập 2: Hai trạm quan sát $A$ và $B$ trên bờ biển cách nhau $500\text{ m}$. Tại cùng một thời điểm, hai trạm phát hiện một chiếc ca nô tại vị trí $C$ ngoài khơi và đo được $\widehat{CAB} = 60^\circ$ và $\widehat{CBA} = 45^\circ$. Tính khoảng cách từ trạm $A$ đến chiếc ca nô $C$ theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
Để lại phản hồi