Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước $50\text{ cm} \times 80\text{ cm}$, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau có cạnh bằng $x\text{ cm}$ rồi gập lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ (theo đơn vị $\text{cm}$) để thể tích chiếc hộp đạt giá trị lớn nhất

Bước 1: Thiết lập các kích thước của hộp chữ nhật

Sau khi cắt bỏ ở bốn góc các hình vuông cạnh $x\text{ cm}$ và gập các mép lại, ta thu được chiếc hộp không nắp có các kích thước:

• Chiều cao của hộp là: $h = x\text{ (cm)}$.
• Chiều dài của đáy hộp là: $a = 80 – 2x\text{ (cm)}$.
• Chiều rộng của đáy hộp là: $b = 50 – 2x\text{ (cm)}$.

Vì các kích thước của hộp đều phải dương nên ta có điều kiện: $$\begin{cases} x > 0 \\ 80 – 2x > 0 \\ 50 – 2x > 0 \end{cases} \iff 0 < x < 25.$$

Bước 2: Lập hàm số thể tích của hộp

Thể tích $V$ của chiếc hộp chữ nhật là hàm số theo biến $x$ trên khoảng $(0; 25)$: $$V(x) = x(80 – 2x)(50 – 2x) = 4x(40 – x)(25 – x) = 4(x^3 – 65x^2 + 1000x).$$

Bước 3: Khảo sát hàm số để tìm giá trị cực đại

Lấy đạo hàm của hàm số $V(x)$ theo biến $x$: $$V'(x) = 4(3x^2 – 130x + 1000).$$ Cho $V'(x) = 0$ ta được phương trình bậc hai: $$3x^2 – 130x + 1000 = 0 \iff \left[\begin{aligned} &x = 10 \\ &x = \frac{100}{3} \approx 33{,}33. \end{aligned}\right.$$

Đối chiếu với điều kiện $x \in (0; 25)$, ta nhận $x = 10$ và loại giá trị $x = \frac{100}{3}$.

Bảng xét dấu đạo hàm trên khoảng $(0; 25)$:

• Với $x \in (0; 10)$ thì $V'(x) > 0$, hàm số $V(x)$ đồng biến.
• Với $x \in (10; 25)$ thì $V'(x) < 0$, hàm số $V(x)$ nghịch biến.

Do đó, hàm số $V(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại duy nhất $x = 10$.

Khi đó, thể tích lớn nhất của chiếc hộp là $V(10) = 10 \cdot (80 – 20) \cdot (50 – 20) = 18\,000\text{ cm}^3 = 18\text{ dm}^3$.

👉 Đáp số (kết quả điền số): 10