📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Từ hai trạm kiểm soát $A$ và $B$ trên bờ biển cách nhau $600\text{ m}$, hai nhân viên cùng quan sát một chiếc tàu gặp sự cố tại vị trí $C$ ngoài khơi. Bằng các thiết bị đo góc chuyên dụng, người ta ghi nhận được các góc quan sát lần lượt là $\widehat{CAB} = 75^\circ$ và $\widehat{CBA} = 60^\circ$. Hãy tính khoảng cách từ trạm $A$ đến vị trí chiếc tàu $C$ (đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Trong các bài toán định vị hàng hải và đo đạc thực địa, khi biết khoảng cách giữa hai mốc quan sát trên bờ và hai góc nhìn tới vị trí cần đo ngoài biển, ta mô hình hóa về bài toán giải tam giác $ABC$ biết $1$ cạnh và $2$ góc kề.
- Tính góc thứ ba của tam giác: $\widehat{C} = 180^\circ – (\widehat{A} + \widehat{B})$.
- Áp dụng Định lý sin trong tam giác: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
- Suy ra khoảng cách $AC$: $AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C}$. Tương tự như trong bài toán đo khoảng cách thực tế bằng hệ thức lượng, ta dễ dàng tính được cự ly mà không cần băng qua biển.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Xét $\Delta ABC$ có ba đỉnh là trạm $A$, trạm $B$ và con tàu $C$:
Bước 1: Tính góc $\widehat{ACB}$ nhìn từ tàu $C$ về đoạn bờ biển $AB$: $$\widehat{ACB} = 180^\circ – (\widehat{CAB} + \widehat{CBA}) = 180^\circ – (75^\circ + 60^\circ) = 45^\circ$$
Bước 2: Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$ cho cạnh $AC$ và $AB$: $$\frac{AC}{\sin \widehat{CBA}} = \frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$$ $$\Rightarrow AC = \frac{AB \cdot \sin \widehat{CBA}}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{600 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}$$
Bước 3: Thay các giá trị lượng giác đặc biệt $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$AC = \frac{600 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 600 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 600 \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = 300\sqrt{6}\text{ (m)}$$
Ta có: $$300\sqrt{6} \approx 300 \cdot 2{,}4494897 = 734{,}8469\dots \approx 735\text{ m}$$
👉 Đáp số (kết quả điền số): 735
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Để đo khoảng cách từ điểm $A$ trên bờ hồ đến tháp kiểm lâm $C$ ở giữa lòng hồ, người ta xác định thêm một điểm $B$ trên bờ cách $A$ một đoạn $AB = 100\text{ m}$. Kết quả đo góc cho thấy $\widehat{CAB} = 45^\circ$ và $\widehat{CBA} = 105^\circ$. Tính khoảng cách $AC$ từ điểm $A$ đến tháp $C$ theo mét (làm tròn đến hàng đơn vị).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Góc $\widehat{C} = 180^\circ – (45^\circ + 105^\circ) = 30^\circ$.
Áp dụng định lý sin: $AC = \frac{AB \cdot \sin \widehat{B}}{\sin \widehat{C}} = \frac{100 \cdot \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}$.
Ta có $\sin 105^\circ = \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$, $\sin 30^\circ = 0{,}5$.
Do đó $AC = \frac{100 \cdot 0{,}9659}{0{,}5} \approx 193{,}19\text{ m} \approx 193\text{ m}$.
👉 Đáp số: 193
Bài tập 2: Hai trạm quan trắc khí tượng $A$ và $B$ cách nhau $400\text{ m}$ cùng theo dõi một khinh khí cầu tại điểm $C$. Góc nhìn từ $A$ lên khí cầu là $\widehat{CAB} = 60^\circ$, từ $B$ lên khí cầu là $\widehat{CBA} = 45^\circ$. Tính khoảng cách $BC$ từ trạm $B$ đến khinh khí cầu theo mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Góc $\widehat{C} = 180^\circ – (60^\circ + 45^\circ) = 75^\circ$.
Theo định lý sin: $BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{400 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ}$.
Tính toán: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660$; $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$.
$BC = \frac{400 \cdot 0{,}866025}{0{,}965926} \approx 358{,}63\text{ m} \approx 359\text{ m}$.
👉 Đáp số: 359
Bài tập 3: Một cây cầu dự kiến xây dựng nối hai điểm $A$ và $B$ qua một hồ sâu. Để đo chiều dài $AB$, một kỹ sư đứng tại trạm $C$ trên bờ đo được $CA = 120\text{ m}$, $CB = 160\text{ m}$ và $\widehat{ACB} = 60^\circ$. Tính chiều dài cây cầu $AB$ theo mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Áp dụng định lý cosin trong $\Delta ABC$ tương tự như định lý ở bài viết
Để lại phản hồi