📌 Đề bài (Trắc nghiệm Đúng/Sai):
Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $AB = c = 6$, $AC = b = 10$ và góc $\widehat{A} = 120^\circ$. Kí hiệu $a = BC$, $S$ là diện tích, $R$ và $r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác $ABC$. Xét tính đúng hoặc sai của các khẳng định sau:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết trọn vẹn bài toán tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa, ta vận dụng các công thức trong chủ đề hệ thức lượng trong tam giác:
- Định lí côsin: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$.
- Định lí sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \implies R = \frac{a}{2\sin A}$.
- Công thức diện tích tam giác: Tương tự như trong bài toán tính diện tích khi biết hai cạnh và một góc, ta áp dụng $S = \frac{1}{2}bc\sin A$.
- Mối liên hệ với bán kính đường tròn nội tiếp: $S = p \cdot r \implies r = \frac{S}{p}$, trong đó $p = \frac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi tam giác.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC
Xét mệnh đề a):
Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ cho cạnh $BC = a$: $$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A = 10^2 + 6^2 – 2 \cdot 10 \cdot 6 \cdot \cos 120^\circ$$ Vì $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ nên: $$a^2 = 100 + 36 – 120 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 136 + 60 = 196$$ Suy ra $a = BC = \sqrt{196} = 14$. Do đó mệnh đề a) Đúng.
Xét mệnh đề b):
Diện tích tam giác $ABC$ được tính theo công thức: $$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin 120^\circ$$ Vì $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nên: $$S = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$$ Khẳng định diện tích bằng $30\sqrt{3}$ là sai. Do đó mệnh đề b) Sai.
Xét mệnh đề c):
Nửa chu vi của tam giác $ABC$ là: $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{14 + 10 + 6}{2} = 15$$ Bán kính đường tròn nội tiếp $r$ thỏa mãn $S = p \cdot r$: $$r = \frac{S}{p} = \frac{15\sqrt{3}}{15} = \sqrt{3}$$ Do đó mệnh đề c) Đúng.
Xét mệnh đề d):
Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$: $$2R = \frac{a}{\sin A} \implies R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{14}{2 \cdot \sin 120^\circ} = \frac{14}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$$ Khẳng định $R = 7\sqrt{3}$ là sai. Do đó mệnh đề d) Sai.
👉 Kết luận Đúng/Sai: a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai 4 ý a, b, c, d)
Bài tập 1: Cho tam giác $ABC$ có cạnh $b = AC = 4$, $c = AB = 5$ và góc $\widehat{A} = 60^\circ$. Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• a) $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos 60^\circ = 16 + 25 – 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 21 \implies a = \sqrt{21}$. (Đúng)
• b) $S = \frac{1}{2}bc\sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$. (Đúng)
• c) $R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{\sqrt{21}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = \sqrt{7}$. (Đúng)
• d) Ba cạnh là $b = 4$, $c = 5$, $a = \sqrt{21} \approx 4{,}58$. Cạnh lớn nhất là $c = 5 = AB$, đối diện với góc $\widehat{C}$. Vậy $\widehat{C}$ mới là góc lớn nhất, mệnh đề nói $\widehat{B}$ là sai. (Sai)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai
Bài tập 2: Tương tự như bài toán phân tích tam giác khi biết ba cạnh trong dạng bài ba cạnh tam giác, cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh lần lượt là $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$. Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
• a) $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$. (Đúng)
• b) Theo công thức Heron: $S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$. (Đúng)
• c) $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$. (Đúng)
• d) $h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 84}{13} = \frac{168}{13} \ne 12$. (Sai)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai
Bài tập 3: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3$, $AC = 4$ và diện tích $S = 3\sqrt{3}$, biết góc $\widehat{A}$ là góc tù. Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• a) $S = \frac{1}{2}bc\sin A \implies 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin A \implies \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$. (Đúng)
• b) Vì $\widehat{A}$ là góc tù và $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\widehat{A} = 120^\circ$. (Đúng)
• c) $BC^2 = 3^2 + 4^2 – 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 9 + 16 – 24\left(-\frac{1}{2}\right) = 25 + 12 = 37 \implies BC = \sqrt{37}$. (Đúng)
• d) $R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{\sqrt{37}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{111}}{3}$. (Đúng)
👉 Kết luận: a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng
Bài tập 4: Cho tam giác $ABC$ có cạnh $a = BC = 8$, góc $\widehat{B} = 45^\circ$ và $\widehat{C} = 75^\circ$. Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
• a) $\widehat
Để lại phản hồi