📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí $A$, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc $120^\circ$. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ $30\text{ km/h}$, tàu thứ hai chạy với tốc độ $50\text{ km/h}$. Hỏi sau $2$ giờ, khoảng cách giữa hai tàu bằng bao nhiêu ki-lô-mét?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Đây là bài toán thực tế điển hình ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác, cụ thể là định lí côsin. Ta thực hiện các bước giải cơ bản sau:
- Bước 1: Xác định độ dài quãng đường di chuyển của từng đối tượng theo công thức $s = v \cdot t$.
- Bước 2: Mô hình hóa bài toán thành tam giác $ABC$, trong đó $A$ là vị trí xuất phát, $B$ và $C$ lần lượt là vị trí của hai tàu sau khoảng thời gian $t$.
- Bước 3: Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ để tính cạnh đối diện $BC$: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \widehat{BAC}$$
- Bước 4: Khai căn bậc hai để tìm khoảng cách $BC$ và kết luận.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Gọi $B$ và $C$ lần lượt là vị trí của tàu thứ nhất và tàu thứ hai sau $2$ giờ di chuyển.
Bước 1: Tính quãng đường mỗi tàu đi được
– Quãng đường tàu thứ nhất đi được sau $2$ giờ là: $$AB = 30 \times 2 = 60\text{ (km)}$$ – Quãng đường tàu thứ hai đi được sau $2$ giờ là: $$AC = 50 \times 2 = 100\text{ (km)}$$
Bước 2: Áp dụng định lí cosin trong $\triangle ABC$
Hai tàu di chuyển theo hai hướng tạo với nhau góc $120^\circ$, do đó $\widehat{BAC} = 120^\circ$. Tương tự như trong bài toán khảo sát tam giác có góc tù $120^\circ$, ta áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$ để tính khoảng cách $BC$ giữa hai tàu: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \widehat{BAC}$$
Thay các giá trị đã biết vào công thức: $$BC^2 = 60^2 + 100^2 – 2 \cdot 60 \cdot 100 \cdot \cos 120^\circ$$ Vì $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, ta có: $$BC^2 = 3600 + 10000 – 12000 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$$ $$BC^2 = 13600 + 6000 = 19600$$
Bước 3: Kết luận khoảng cách
Do $BC > 0$, ta suy ra: $$BC = \sqrt{19600} = 140\text{ (km)}$$
👉 Đáp số (kết quả điền số): 140
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí $A$ và $B$ ở hai bên bờ một hồ nước mà không thể qua lại trực tiếp, một người đứng tại điểm $C$ trên bờ hồ đo được khoảng cách $CA = 100\text{ m}$, $CB = 160\text{ m}$ và góc $\widehat{ACB} = 60^\circ$. Tính khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ (theo đơn vị mét).
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$:
$$AB^2 = CA^2 + CB^2 – 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos 60^\circ$$
$$AB^2 = 100^2 + 160^2 – 2 \cdot 100 \cdot 160 \cdot 0{,}5 = 10000 + 25600 – 16000 = 19600$$
Suy ra $AB = \sqrt{19600} = 140\text{ (m)}$.
👉 Đáp số: 140
Bài tập 2: Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay $O$ tại cùng một thời điểm. Máy bay thứ nhất bay về hướng đông với vận tốc $600\text{ km/h}$, máy bay thứ hai bay với vận tốc $800\text{ km/h}$ theo hướng tạo với hướng đông một góc $60^\circ$. Hỏi sau $1{,}5$ giờ, khoảng cách giữa hai máy bay là bao nhiêu ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Sau $1{,}5$ giờ:
– Quãng đường máy bay thứ nhất đi được: $OA = 600 \times 1{,}5 = 900\text{ (km)}$.
– Quãng đường máy bay thứ hai đi được: $OB = 800 \times 1{,}5 = 1200\text{ (km)}$.
Góc giữa hai đường bay là $\widehat{AOB} = 60^\circ$. Áp dụng định lí cosin cho $\triangle OAB$:
$$AB^2 = OA^2 + OB^2 – 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 60^\circ$$
$$AB^2 = 900^2 + 1200^2 – 2 \cdot 900 \cdot 1200 \cdot 0{,}5 = 810000 + 1440000 – 1080000 = 1170000$$
Suy ra $AB = \sqrt{1170000} \approx 1081{,}665\text{ km} \approx 1082\text{ (km)}$.
👉 Đáp số: 1082
Bài tập 3: Một người quan sát một ngọn hải đăng từ vị trí $A$ dưới chân đồi thấy góc nâng đến ngọn đèn trên đỉnh là $30^\circ$. Người đó tiến thẳng về phía ngọn hải đăng một đoạn $60\text{ m}$ đến vị trí $B$ thì đo được góc nâng là $45^\circ$. Biết chân ngọn hải đăng và hai vị trí quan sát $A, B$ cùng nằm trên một đường thẳng ngang. Tính chiều cao ngọn hải đăng tính từ mặt đất theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Để lại phản hồi