Một đường ống dẫn dầu cần được nối từ nhà máy lọc dầu $A$ trên bờ biển thẳng đến giàn khoan $C$ ở ngoài khơi. Biết khoảng cách từ $C$ đến bờ biển là $CD = 6\text{ km}$ ($CD$ vuông góc với bờ biển) và khoảng cách $AD = 8\text{ km}$. Chi phí lắp đặt mỗi ki-lô-mét đường ống trên đất liền là $100\text{ triệu đồng}$, chi phí dưới biển là $260\text{ triệu đồng}$. Đường ống được đặt từ $A$ đến một vị trí $M$ trên đoạn $AD$, rồi từ $M$ đi thẳng đến $C$. Chi phí nhỏ nhất để lắp đặt toàn bộ đường ống là bao nhiêu triệu đồng?

Bước 1: Thiết lập mô hình toán học

Đặt $MD = x$ với $0 \le x \le 8$ (đơn vị: $\text{km}$).

Đoạn đường ống lắp trên đất liền dài: $$AM = AD – MD = 8 – x\text{ (km)}$$

Trong tam giác $MDC$ vuông tại $D$, theo định lý Pythagore, đoạn đường ống ngầm dưới biển dài: $$MC = \sqrt{MD^2 + CD^2} = \sqrt{x^2 + 6^2} = \sqrt{x^2 + 36}\text{ (km)}$$

Bước 2: Xây dựng hàm tổng chi phí

Tổng chi phí lắp đặt (đơn vị: triệu đồng) là hàm số theo $x$: $$f(x) = 100(8 – x) + 260\sqrt{x^2 + 36}, \quad x \in [0; 8]$$

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0; 8]$

Ta tính đạo hàm của $f(x)$: $$f'(x) = -100 + 260 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 36}} = -100 + \frac{260x}{\sqrt{x^2 + 36}}$$

Cho $f'(x) = 0$: $$\frac{260x}{\sqrt{x^2 + 36}} = 100 \iff 13x = 5\sqrt{x^2 + 36}$$ $$\iff 169x^2 = 25(x^2 + 36) \iff 144x^2 = 900 \iff x^2 = \frac{900}{144} = 6{,}25$$ $$\Rightarrow x = 2{,}5\text{ (km) (vì } x \ge 0)$$ Giá trị $x = 2{,}5$ thỏa mãn $x \in [0; 8]$.

Bước 4: Tính và so sánh giá trị tại các điểm đặc biệt

• Tại điểm cực trị $x = 2{,}5$: $$f(2{,}5) = 100(8 – 2{,}5) + 260\sqrt{2{,}5^2 + 36} = 100 \times 5{,}5 + 260 \times 6{,}5 = 550 + 1690 = 2240\text{ (triệu đồng)}$$
• Tại đầu mút $x = 0$ (nối thẳng vuông góc ra bờ biển tại $D$ rồi đi bộ về $A$): $$f(0) = 100(8 – 0) + 260\sqrt{0 + 36} = 800 + 260 \times 6 = 800 + 1560 = 2360\text{ (triệu đồng)}$$
• Tại đầu mút $x = 8$ (đi thẳng đường biển từ $A$ đến $C$): $$f(8) = 100(8 – 8) + 260\sqrt{8^2 + 36} = 0 + 260 \times 10 = 2600\text{ (triệu đồng)}$$

So sánh ba giá trị trên, ta có $\min_{[0; 8]} f(x) = 2240$ tại $x = 2{,}5$.

Vậy chi phí nhỏ nhất để lắp đặt toàn bộ đường ống là $2240$ triệu đồng.

👉 Đáp số (kết quả điền số): 2240