Lý thuyết Cực trị của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm \(x_0\in(a;b)\):

• Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_0\) nếu \(f(x_0)>f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \left \{ x_0 \right \},h>0\)
• Hàm số \(f(x)\) đạt cực tiểu tại x0 nếu \(f(x_0)<f(x) \ \forall x\in (x_0-h,x_0+h) \setminus \left \{ x_0 \right \},h>0\).

2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị

a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị

\(f(x)\) đạt cực trị tại \(x_0\), có đạo hàm tại \(x_0\) thì \(f'(x_0)=0\).

b) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

• Điều kiện thứ nhất:  Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng \(K = ({x_0} – h;{x_0} + h)\,(h > 0)\) và có đạo hàm trên K hoặc trên \(K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\):
  • Nếu   thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).
  •  Nếu  thì x0 là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).
• Cách phát biểu khác dễ hiểu hơn:  Đi từ trái sang phải
  • Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ – sang + khi qua _{\(x_0\)} thì \(x_0\) là điểm cực tiểu.
  • Nếu \(f(x)\) đổi dấu từ + sang – khi qua \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại.
• Điều kiện thứ hai:   Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng  \(K = ({x_0} – h;{x_0} + h)\,(h > 0)\):
  • Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f”(x_0)<0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).
  • Nếu \(f'(x_0)=0\), \(f”(x_0)>0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).

3. Quy tắc tìm cực trị

a) Quy tắc 1

• Tìm tập xác định.
• Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.
• Lập bảng biến thiên.
• Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

b) Quy tắc 2

• Tìm tập xác định.
• Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm  của phương trình \(f'(x)=0\).
• Tính \(f”(x)\) và \(f”(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm $x_i$.

♦ Chú ý:  nếu \(f”(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại $x_i$

————–

Trả lời câu hỏi trong bài học SGK

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 13: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x² + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) $y = \frac{x}{3(x+3)^2}$ trong các khoảng (1/2; 3/2) và (3/2; 4).

Lời giải:

a) Tại x = 0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.

Xét dấu đạo hàm:

b) Tại x = 1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4/3.

Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.

Xét dấu đạo hàm:

---

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 14: Giả sử f(x) đạt cực đại tại x_o. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số  khi Δx → 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.

Lời giải:

Với Δx > 0 Ta có  f'(x_o⁺ ).

Với Δx < 0 Ta có  f'(x_o^– ).

Vậy f’(x_o) = 0.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 14: a) Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.

• y = -2x + 1;

• $y = \frac{x}{3(x+3)^2}$ (H.8).

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Lời giải:

a,Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị.

Hàm số $y = \frac{x}{3(x+3)^2}$ đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.

b, Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.

---

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 16: Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Lời giải:

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x|. Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 16: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm $f(x) = x(x^2 – 3)$.

Lời giải:

1. TXĐ: D = R

2. $f’(x) = 3x^2 – 3$. Cho f’(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

3. Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2.