Lý thuyết Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ – Chân trời

Lý thuyết Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ – Chân trời
============

1.1. Góc giữa hai vectơ

* Các trường hợp đặc biệt:

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow 0 } \right) = \alpha \) tùy ý, với \({0^ \circ } \le \alpha  \le {180^ \circ }\)

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {90^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \) hoặc \(\overrightarrow v  \bot \overrightarrow u \). Đặc biệt: \(\overrightarrow 0  \bot \overrightarrow u \;\;\forall \overrightarrow u \;\)

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {0^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng hướng

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) ngược hướng

Chú ý:

– Từ định nghĩa ta có \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right)\)

– Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác \({\overrightarrow 0 }\) luôn bằng 0⁰

– Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác \({\overrightarrow 0 }\) luôn bằng 180⁰,

– Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ \({\overrightarrow a }\) hoặc \({\overrightarrow b }\) là vectơ \({\overrightarrow 0 }\) thì ta quy ước

số đo góc giữa hai vectơ đó là tuỷ ý (từ 0⁰ đến 180⁰)

Ví dụ:  Cho hình vuông ABCD có tâm I là giao điểm của hai đường chéo. Tìm các góc

\(\begin{array}{l}
a)\left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {AB} } \right)\\
b)\left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {AI} } \right)\\
c)\left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {DB} } \right)\\
d)\left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IC} } \right)
\end{array}\)

Giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {DI}  = \overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB} \), suy ra \(\left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \left( {\overrightarrow {DI} ,\overrightarrow {DC} } \right) = \widehat {IDC} = {45^0}\) 

b) Ta có: \(\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {AI} \), suy ra \(\left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {AI} } \right) = \left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {IC} } \right) = \widehat {BIC} = {90^0}\)

c) Do hai vecto \(\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {DB} \) cùng hướng nên ta có \(\left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {DB} } \right) = {0^0}\)

d) Do hai vecto \({\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IC} }\) ngược hướng nên ta có \(\left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IC} } \right) = {180^0}\)

1.2. Tích vô hướng của hai vectơ

Chú ý:

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u  \bot \;\overrightarrow v \;\;\)

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow u \;\; = {\overrightarrow u ^2} = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|.\cos {0^ \circ } = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\)

Ví dụ:  Cho tam giác đều ABC cỏ cạnh bằng 4 và có đường cao AH. Tính các tích vô hướng:

\(\begin{array}{l}
a){\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ;\\
b){\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} ;\\
c){\rm{ }}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} 
\end{array}\)

Giải

\(\begin{array}{l}
a){\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 4.4.cos{60^0} = 16.\frac{1}{2} = 8\\
b){\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 4.4.cos{120^0} = 16.\left( { – \frac{1}{2}} \right) =  – 8\\
c){\rm{ }}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AH} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left| {\overrightarrow {AH} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.cos{90^0} = 0
\end{array}\)

1.3. Tính chất của tích vô hướng

Nhận xét

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v  – \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; – \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \\{\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} + 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2};\;\;{\left( {\overrightarrow u  – \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} – 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2}\\\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\left( {\overrightarrow u  – \overrightarrow v } \right) = {\overrightarrow u ^2} – {\overrightarrow v ^2}\end{array}\)

Ví dụ:  Cho tam giác ABC. TÍnh cạnh AB theo hai cạnh còn lại và góc C

Giải

Ta có: \(A{B^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {CB}  – \overrightarrow {CA} } \right)^2} = {\overrightarrow {CB} ^2} + {\overrightarrow {CA} ^2} – 2\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA}  = {\overrightarrow {CB} ^2} + {\overrightarrow {CA} ^2} – 2CB.CA.\cos C\)

hay \({c^2} = {a^2} + {b^2} – 2.b.c.\cos C\)

Câu 1:  Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng \(\sqrt 2 \).

Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)

Hướng dẫn giải

+) Ta có: \(AB \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overline {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)

Ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt 2  \Leftrightarrow \sqrt {2A{C^2}}  = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow AC = 1\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 1.\sqrt 2 .\cos \left( {45^\circ } \right) = 1\)

+) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1.\sqrt 2 .\cos \left( {45^\circ } \right) = 1\)

Câu 2:  Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có độ dài lần lượt là 3 và 8 có tích vô hướng là \(12\sqrt 2 \).Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

\( \Leftrightarrow 12\sqrt 2  = 3.8.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \)

Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là \(45^\circ \)

Câu 3:  Cho hai vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \) vuông góc có cùng độ dài bằng 1.

a) Tính \({\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)^2};{\left( {\overrightarrow i  – \overrightarrow j } \right)^2};\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)\left( {\overrightarrow i  – \overrightarrow j } \right)\).

b) Cho \(\overrightarrow a  = 2\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j ,\overrightarrow b  = 3\overrightarrow i  – 3\overrightarrow j \). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) và tính góc \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \) vuông góc nên \(\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0\)

+) \({\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow i } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow j } \right)^2} + 2\overrightarrow i .\overrightarrow j  = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1 + 1 = 2\)

+) \({\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow i } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow j } \right)^2} – 2\overrightarrow i .\overrightarrow j  = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1 + 1 = 2\)

+) \(\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)\left( {\overrightarrow i  – \overrightarrow j } \right) = {\left( {\overrightarrow i } \right)^2} – {\left( {\overrightarrow j } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} – {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1 – 1 = 0\)

b) Sử dụng kết quả của câu a) ta có:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( {2\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j } \right).\left( {3\overrightarrow i  – 3\overrightarrow j } \right) = 2.3.\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right).\left( {\overrightarrow i  – \overrightarrow j } \right) = 6.0 = 0\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \)

===========
Chuyên mục: Chương 5: Vectơ