Lý thuyết Bài 1: Khái niệm vectơ – Chân trời
============
1.1. Định nghĩa vectơ
Đại lượng vô hướng là đại lượng chỉ có độ lớn. Ví dụ: khôi lượng, khoảng cách, nhiệt độ, …
Đại lượng có hướng là đại lượng bao gồm cả đô lớn và hướng. Ví du: đô dịch chuyền, lực, vận tốc, gia tộc,
Khi xác định một đại lượng vô hướng, ta chỉ cằn mô tả độ lớn của nó. Ví dụ: Hàng trên tàu có khôi lượng 500 tân.
Khi xác định một đại lượng có hướng, ta phải đề cập đến cả độ lớn và hướng của nó. Ví dụ: Con tàu có độ địch chuyển đài 500 km theo hướng từ A đền B.
Vecto là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối. |
---|
* Wectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là \(\overrightarrow {AB} \), đọc là vectơ \(\overrightarrow {AB} \) (Hình sau)
* Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
* Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ đài của vectơ V và được kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ }}} \right|\) Như vậy ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ }}} \right| = AB\).
Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow x ,\overrightarrow y \)…
Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 (Hình sau). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ đài của các vectơ: \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BH} \)
Giải
Vectơ \(\overrightarrow {CA}\) có điểm đầu là C, điểm cuôi là A và có giá là đường thẳng AC.
Veclơ \(\overrightarrow {AH}\) có điểm đầulà A, điểm cuối là H và có giá là đường thẳng AH.
Vectơ \(\overrightarrow {BH}\) có điểm đầu là B, điểm cuôi là H và có giá là đường thẳng BH.
Ta có: CA =2, BH = 1, \(AH = \sqrt {A{C^2} – C{H^2}} = \sqrt {4 – 1} = \sqrt 3 \)
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 2,\left| {\overrightarrow {BH} } \right| = 1,\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = \sqrt 3 .\)
1.2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
+) Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. +) Hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. |
---|
Ví dụ:
Ba vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {AB} \) cùng phương.
Trong đó 2 vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow {CD} \) cùng hướng, còn 2 vecto \(\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {AB} \) ngược hướng.
+) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương.
1.3. Vectơ bằng nhau – Vectơ đối nhau
+) Hai vecto được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. +) Hai vecto được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng. Kí hiệu: \(\overrightarrow a = – \overrightarrow b \), (vecto \(\overrightarrow b \) là vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \)) |
---|
Chú ý: Với mỗi điểm O và vecto \(\overrightarrow a \) cho trước, có duy nhất điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \)
Ví dụ:
a) Tìm trong hình sau hai cặp vectơ bằng nhau và hai căp vectơ đối nhau.
b) Cho điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm hai vectơ đối nhau.
Giải
Trình hình trên, ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} \\
\overrightarrow {AD} = – \overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {DA} = \overrightarrow { – AD}
\end{array}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {OA} = – \overrightarrow {OB} \) (Hình sau)
1.4. Vectơ không
Vecto không, là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu chung là \(\overrightarrow 0 \). |
---|
Ví dụ: \(\overrightarrow {AA} ,\;\overrightarrow {EE} ,…\)
* Chú ý:
– Vecto không có độ dài bằng 0.
– Vecto \(\overrightarrow 0 \) cùng phương, cùng hướng với mọi vecto.
– Mọi vecto-không đều bằng nhau: \(\overrightarrow 0 = \overrightarrow {AA} = \;\overrightarrow {BB} = …\)
– Vecto đối của vecto-không là chính nó.
Câu 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\), hai đường chéo cắt nhau tại O. Tìm độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AO} \).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(AC = BD = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = 1\)
\(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\)
Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {AO} } \right| = 1\)
Câu 2: Quan sát Hình sau và gọi tên các vectơ:
a) Cùng phương với vectơ \(\overrightarrow x \);
b) Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) ;
Ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow u \).
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Giá của vectơ \(\overrightarrow {\rm{w}} \) trùng với giá của \(\overrightarrow x \)
Giá của vectơ \(\overrightarrow y \), \(\overrightarrow z \)song song với giá của \(\overrightarrow x \)
Suy ra các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow x \) là \(\overrightarrow {\rm{w}} \), \(\overrightarrow y \)và \(\overrightarrow z \)
b) Ta có:
Vectơ \(\overrightarrow b \) có giá song song với vectơ \(\overrightarrow a \)và có cùng hướng từ trên xuống với vectơ \(\overrightarrow a \)nên vectơ \(\overrightarrow b \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \)
c) Ta có:
Vectơ \(\overrightarrow v \) có giá song song với vectơ \(\overrightarrow u \)và ngược hướng từ dưới lên trên so với vectơ \(\overrightarrow u \)nên vectơ \(\overrightarrow v \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow u \)
Câu 3: Cho D, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (hình 14).
a) Tìm các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {EF} \).
b) Tìm các vectơ đối vectơ \(\overrightarrow {EC} \)
Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ta có:
\(AF = FB = ED\); \(AE = EC = FD\); \(BD = DC = EF\)
Từ đó dựa vào hình ta có:
a) Các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {EF} \)là \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {DC} \)
b) Các vectơ đối vectơ \(\overrightarrow {EC} \) là \(\overrightarrow {EA} \) và \(\overrightarrow {DF} \)
===========
Chuyên mục: Chương 5: Vectơ
Trả lời