Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm nhất biến

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm nhất biến. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc nhất trên bậc nhất.

Hàm nhất biến. Có dạng $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},\;\;ad \ne bc.$
$\left( a \right)$ Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{d}{c}} \right\}$.
$\left( b \right)$ Giới hạn và tiệm cận:
$\left( b_1 \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{d}{c}} \right)}^ \pm }} y = \mathop {\lim }\limits_{x
\to {{\left( { – \frac{d}{c}} \right)}^ \pm }} \frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \pm \infty \Rightarrow x = – \frac{d}{c}$ là
phương trình của tiệm cận đứng.
$\left( b_2 \right)$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \leftrightarrow \pm \infty }
\frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \frac{a}{c} \Rightarrow y = \frac{a}{c}$ là phương trình của tiệm cận ngang.
$\left( c \right)$ Cực trị: Ta có $y’ = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b \\
c&d
\end{array}} \right|}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} = \frac{{ad – bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$ có dấu không
đổi nên hàm số không có cực trị.
$\left( e \right)$Trục đối xứng: Giao điểm của hai tiệm cận $I\left( { – \frac{d}{c};\frac{a}{c}} \right)$ là tâm đối xứng

$\left( f \right)$ Tính đơn điệu: Tuỳ vào dấu của $y’$ mà tính đơn điệu và đồ thị của hàm nhất biến có $2$ trường hợp sau:
$y’ < 0$ 

$y’ > 0$ 

Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{{4x + 1}}{{2x -1}}$.
Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{{\frac{1}{2}} \right\}.$
$ x = \frac{1}{2}$ là phương trình tiệm cận đứng;
$ y = 2$ là phương trình tiệm cận ngang.
Sự biến thiên: Ta có $y’ = – \frac{6}{(2x – 1)^2} < 0$

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
Bảng biến thiên

Đồ thị:

Ví Dụ 2:  Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+1}\)
Giải
TXĐ: D = R \{-1}
\(y’=\frac{2(x+1)-(2x+1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}\)
\(y’>0 \ \forall x\in (-\infty ;-1);(-1;+\infty )\)
Khoảng đồng biến \((-\infty ;-1);(-1;+\infty )\)
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn và tiệm cận
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2x+1}{x+1 }=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2\)
Vậy đường tiệm cận ngang y – 2 = 0.
\(\lim_{x\rightarrow \infty }y=2\)
\(\lim_{x\rightarrow -1^- }y=+\infty , \lim_{x\rightarrow -1^+ }y=-\infty\)
Vậy đường tiệm cận đứng x + 1 = 0
Bảng biến thiên

Giao với Ox \((-\frac{1}{2};0)\)
Giao với Oy (0;1)

Đồ thị nhận (-1;2) làm tâm đối xứng

Ví Dụ 3:  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=\frac{-x+3}{x-1}\)
Giải
TXĐ: D = R\ {1}
\(y’=\frac{-(x-1)-(x+3)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}\)
\(y'<0 \ \forall x\in (-\infty ;1),(1;+\infty )\) nên hàm số nghịch biến trên \((-\infty ;1),(1;+\infty )\)
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn:
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{-x+3}{x-1}=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-1+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}} =-1\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{-x+3}{x-1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{-1+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}} =-1\)
Đường tiệm cận ngang y + 1 = 0
\(\lim_{x\rightarrow 1^-}y=-\infty; \lim_{x\rightarrow 1^+}y=+\infty\)
Đường tiệm cận đứng x – 1 = 0.
Bảng biến thiên

Giao với Ox (3;0)
Giao với Oy (0;-3)