Phương trình tiếp tuyến của hàm số

Đây là bài toán trong phần khảo sát hàm số

Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài toán 1 : Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C).$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C).$

Phương pháp giải :
+ Tiếp tuyến tại một điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C)$ có hệ số góc là $f'({x_0}).$
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có dạng: $y – {y_0} = f'({x_0})(x – {x_0})$ hay $y – f({x_0}) = f'({x_0})(x – {x_0}).$

Ví dụ 1 : Cho hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x$ có đồ thị $(C)$. Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(2;2) \in (C).$

Ta có: $y’=3x^2 – 12x + 9.$
Với: $x = 2$; $y = 2$ và $y'(2) = -3.$ Phương  trình tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ tại  điểm $A(2;2)$ là:
$y = – 3(x – 2) + 2$ hay $y = – 3x + 8.$

Ví dụ 2 : Cho hàm số $y = 2 + 3x – x^3$ có đồ thị $(C).$ Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị.

Ta có:
$y’ = 3 – 3{x^2}.$
$y” = – 6x.$
$y” = 0 \Leftrightarrow x = 0.$
Suy ra toạ độ điểm uốn là $(0;2).$
$y'(0) = 3.$
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là:
$y = 3(x – 0) + 2$ hay $y = 3x + 2.$

Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x = x_0$ (hoặc $y = y_0$).

Phương pháp giải :
+ Với $x = x_0 ⇒ y = f(x_0).$
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x = x_0$ có dạng: $y = f'(x_0)(x – x_0) + y_0 .$
Áp dụng tương tự với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ $y = y_0 .$

Ví dụ 3 : Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 1$ có đồ thị $(C).$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $-1.$

Hoành độ tiếp điểm là $x = – 1$ nên tung độ tiếp điểm là $y = 1.$
$y’ = 3{x^2} + 6x \Rightarrow y'( – 1) = – 3.$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $(-1;1)$ là:
$y = – 3(x + 1) + 1$ hay $y = – 3x – 2.$

Ví dụ 4 : Cho hàm số $y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{1 – x}}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có tung độ $–7.$

Với $y_0 = -7$, ta có: $-7 = \frac{{3{\rm{x_0}} + 1}}{{1 – x_0}}$ $⇔x_0 = 2.$
$y’ = \frac{4}{{{{(1 – x)}^2}}} \Rightarrow y'(2) = 4.$
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $(2;-7)$ là: $y = 4(x – 2) – 7$ hay $y = 4x – 15.$

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước
Bài toán 3 : Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và một số $k \in R.$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ có hệ số góc $k.$

Phương pháp giải :
Cách 1 : Phương pháp tìm tiếp điểm:
+ Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc $k$ tiếp xúc với $(C)$ tại điểm có hoành độ ${x_i}$ $ \Rightarrow f'({x_i}) = k \Rightarrow x = {x_i}$ là nghiệm của phương trình $f'(x) = k.$
+ Giải phương trình $f'(x) = k$, suy ra nghiệm $x = \left\{ {{x_0},{x_1},…{x_n}} \right\},n \in {Z^ + }.$
+ Phương trình tiếp tuyến tại ${x_i}$ là: $y = k(x – {x_i}) + f({x_i}).$
Cách 2 : Phương pháp điều kiện kép:
Xét đường thẳng có hệ số góc $k$ có phương trình $y = kx + m$ ($m$ là ẩn) tiếp xúc với đồ thị $(C)$: $y = f(x).$ Khi đó ta có phương trình $kx + m = f(x)$ có nghiệm kép. Áp dụng điều kiện để phương trình có nghiệm kép, suy ra được $m$. Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Nhận xét: Vì điều kiện $({C_1}):y = f(x)$ và $({C_2}):y = g(x)$ tiếp xúc nhau là hệ điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
f(x) = g(x)\\
f'(x) = g'(x)
\end{array} \right.$ có nghiệm kép chứ không phải điều kiện phương trình $f(x) = g(x)$ có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số $y = f(x)$ mà phương trình tương giao $kx + m = f(x)$ có thể biến đổi tương đương về một phương trình bậc 2 (khi đó điều kiện để có nghiệm kép là ${\Delta _m} = 0$).
Chú ý: Ta có các dạng biểu diễn của hệ số góc $k$ như sau:
+ Dạng trực tiếp.
+ Tiếp tuyến tạo với chiều dương $Ox$ góc $\alpha $ khi đó hệ số góc $k = \tan \alpha .$
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = {\rm{ax + b}}$, khi đó hệ số góc $k = a.$
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = {\rm{ax + b}}$, khi đó $ka = – 1 \Rightarrow k = – \frac{1}{a}.$
+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng $y = {\rm{ax + b}}$ một góc $\alpha $, khi đó: $\left| {\frac{{k – a}}{{1 + ka}}} \right| = \tan \alpha .$

Ví dụ 5 : Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2$ có đồ thị $(C).$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ biết hệ số góc của tiếp tuyến $k = -3.$

Ta có: $y’ = 3x^2 – 6x.$
Do hệ số góc của tiếp tuyến là $k = -3$ nên: $3x^2 – 6x = -3$ $⇔ x = 1.$
Với $x = 1 ⇒ y = -2.$ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y = -3(x – 1) – 2$ $⇔ y = -3x + 1.$

Ví dụ 6 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 1$ $(C).$ Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y = 9x + 2009.$

Ta có: $y’ = 3x^2 – 6x.$
Do tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y = 9x + 2009$ nên tiếp tuyến có hệ số góc $k = 9$ $⇔3x^2 – 6x = 9$ $⇔x = -1$ hoặc $x = 3.$
+ Với $x = -1 ⇒ y = -3.$ Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $x = -1$ là: $y = 9(x + 1) – 3$ $⇔ y = 9x + 6.$
+ Với $x = 3 ⇒ y = 1.$ Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $x = 3$ là: $y = 9(x – 3) + 1$ $⇔y = 9x – 26.$
Vậy $(C)$ có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 9x + 2009$ là: $y = 9x + 6$ và $y = 9x – 26.$

Ví dụ 7 : Cho hàm số $y = x^3 – 3x + 2$ có đồ thị $(C).$ Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng $y = \frac {-1}{9}x.$

Ta có: $y’ = 3x^2 – 3.$
Do tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với đường thẳng $y = \frac {-1}{9}x$ nên hệ số góc của tiếp tuyến $k = 9$ $⇔3x^2 – 3 = 9$ $⇔x = ±2.$
+ Với $x = 2 ⇒ y = 4.$ Phương trình tiếp tuyến tại $x = 2$ là: $y = 9(x – 2) + 4$ $⇔y = 9x – 14.$
+ Với $x = -2 ⇒ y = 0.$ Phương trình tiếp tuyến tại $x = -2$ là: $y = 9(x + 2) + 0$ $⇔y = 9x + 18.$
Vậy $(C)$ có hai tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = \frac {-1}{9}x$ là: $y = 9x – 14$ và $y = 9x + 18.$

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài toán 4 : Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ qua $A$ đến đồ thị $(C).$

Phương pháp giải :
Cách 1 : Thực hiện theo các bước:
+ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ có phương trình: $d: y = k(x – {x_A}) + {y_A}.$
+ $d$ tiếp xúc với $(C)$ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l}
f(x) = k(x – {x_A}) + {y_A}\\
f'(x) = k
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) = f'(x)(x – {x_A}) + {y_A}\\
f'(x) = k
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow k.$
+ Kết luận về tiếp tuyến $d.$
Cách 2 : Thực hiện theo các bước:
+ Giả sử tiếp điểm là $M({x_0};{y_0})$ khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng $d$: $y = y'({x_0})(x – {x_0}) + {y_0}.$
+ Điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right) \in d$, ta được ${y_A} = y'({x_0})({x_A} – {x_0}) + {y_0}$ $ \Rightarrow {x_0}.$

Ví dụ 8 : Cho hàm số $(C)$: $y = \frac {1}{3}x^3 – x^2.$ Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ đi qua điểm $A(3;0).$

Ta có: $y’= x^2 – 2x.$
Gọi đường thẳng qua $A(3;0)$ có hệ số góc $k$ → Phương trình có dạng: $y = k.(x – 3) + 0.$
Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{3}{x^3} – {x^2} = k(x – 3)\\
k = {x^2} – 2x
\end{array} \right.$ có nghiệm.
Thay (2) vào (1) ta có: $\frac{1}{3}{x^3} – {x^2} = ({x^2} – 2x)(x – 3)$ $⇔ x = 0$ và $x = 3.$
+ Với $x = 0$ $⇒ k = 0.$ Phương trình tiếp tuyến: $y = 0.$
+ Với $x = 3$ $⇒ k = 3.$ Phương trình tiếp tuyến: $y = 3.(x – 3) = 3x – 9.$
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến đi qua $A(3;0)$ là: $y = 0$ và $y = 3x – 9.$