Giải SGK Toán 12 (Sách KNTT) Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Giải chi tiết Giải SGK Toán 12 (Sách KNTT) Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn – SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 12 KẾT NỐI – 2024

================

Đề bài 1.26

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là \(y = {t^3} – 12t + 3,t \ge 0\).
a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?
c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 3\).
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

Phương pháp giải

a) Sử dụng kiến thức về tốc độ thay đổi của một đại lượng để tìm hàm vận tốc và hàm gia tốc: Nếu \(s = s\left( t \right)\) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì \(v = s’\left( t \right)\) biểu thị vận tốc tức thời của vật, tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: \(a\left( t \right) = v’\left( t \right) = s”\left( t \right)\).

b) Vật chuyển động lên trên (theo chiều dương) khi \(v\left( t \right) > 0\), vật chuyển động xuống dưới (chuyển động ngược chiều dương) khi \(v\left( t \right) < 0\).

c) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 3\) là \(s\left( 3 \right) – s\left( 0 \right)\)

d) Hạt tăng tốc khi \(v’\left( t \right) > 0\) hay \(a\left( t \right) > 0\), hạt giảm tốc khi \(v’\left( t \right) < 0\) hay \(a\left( t \right) < 0\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm vận tốc là: \(v\left( t \right) = y’ = 3{t^2} – 12\), \(t \ge 0\)

Hàm gia tốc là: \(a\left( t \right) = v’\left( t \right) = y” = 6t\), \(t \ge 0\)

b) Hạt chuyển động lên trên khi \(v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} – 12 > 0 \Leftrightarrow t > 2\) (do \(t \ge 0\))

Hạt chuyển động xuống dưới khi \(v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} – 12 < 0 \Leftrightarrow 0 \le t < 2\) (do \(t \ge 0\))

c) Ta có: \(y\left( 3 \right) – y\left( 0 \right) = {3^3} – 12.3 + 3 – 3 =  – 9\)

Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian \(0 \le t \le 3\) là 9m.

d) Hạt tăng tốc khi \(v\left( t \right)\) tăng hay \(v’\left( t \right) > 0.\) Do đó, \(6t > 0 \Leftrightarrow t > 0\)

Hạt giảm tốc khi \(v\left( t \right)\) giảm hay \(v’\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 6t < 0 \Leftrightarrow t < 0\) (không thỏa mãn do \(t \ge 0\)).

Đề bài 1.27

Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hóa nào đó là: \(C\left( x \right) = 23\;000 + 50x – 0,5{x^2} + 0,00175{x^3}\)

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm C’(100) và giải thích ý nghĩa của nó.

c) So sánh C’(100) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101.

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về tốc độ thay đổi của một đại lượng để tính: Nếu \(C = C\left( x \right)\) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C’(x) của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.

Sử dụng kiến thức về tốc độ thay đổi của một đại lượng để tính: Nếu \(C = C\left( x \right)\) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C’(x) của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.

Lời giải chi tiết

a) Hàm chi phí biên là: \(C’\left( x \right) = 0,00525{x^2} – x + 50\).

b) Ta có: \(C’\left( {100} \right) = 0,{00525.100^2} – 100 + 50 = 2,5\) (trăm nghìn đồng)

Chi phí biên tại \(x = 100\) là 250 000 đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn thứ 101) là khoảng 250 000 đồng.

c) Chi phí sản xuất đơn hàng thứ 101 là:

\(C\left( {101} \right) – C\left( {100} \right) = 24\;752,52675 – 24\;750 = 2,52675\) (trăm nghìn đồng)

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên C’(100) đã tính ở câu b.

Đề bài 1.28

Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tìm doanh thu lớn nhất:

Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\).

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\) bằng các phương pháp đã biết và kết luận. 

Lời giải chi tiết

Gọi x là số lần tăng giá 100 nghìn đồng (\(x > 0\)).

Khi đó, số căn được cho thuê là: \(100 – x\) (căn)

Tổng số tiền thu được trong một tháng là:

\(\left( {100 – x} \right)\left( {8\;000\;000 + 100\;000x} \right) = 100\;000\left( {100 – x} \right)\left( {80 + x} \right) = 100\;000\left( { – {x^2} + 20x + 8\;000} \right)\)

\( = 100\;000\left[ { – {{\left( {x – 10} \right)}^2} + 8\;100} \right] \le 810\;000\;000\) với mọi \(x > 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 10\) (thỏa mãn)

Vậy để thu được doanh thu là lớn nhất thì người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là: \(8\;000\;000 + 100\;000.10 = 9\;000\;000\) (đồng).

Sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tìm doanh thu lớn nhất:

Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\).

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

Đề bài 1.29

Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức \(p = \frac{{354}}{{1 + 0,01x}},x \ge 0\), trong đó p là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và x là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.
a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(x = x\left( p \right)\). Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
– Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán p tăng;
– Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} x\left( p \right)\).

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số phân thức để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Sơ đồ khảo sát hàm số phân thức

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên

Lời giải chi tiết

a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.

Vì \(p = \frac{{354}}{{1 + 0,01x}} \Rightarrow p\left( {1 + 0,01x} \right) = 354 \Rightarrow p + 0,01px = 354 \Rightarrow x = \frac{{354 – p}}{{0,01p}}\)

Tập xác định của hàm số là: \(\left( {0;354} \right]\)

Với \(p = 240\) ta có: \(x = \frac{{354 – 240}}{{0,01.240}} = 47,5\)

Vậy với giá bán mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng thì bán được 47,5 đơn vị sản phẩm.

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số: \(x = x\left( p \right) = \frac{{354 – p}}{{0,01p}}\)

1. Tập xác định của hàm số: \(\left( {0;354} \right]\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(x’\left( p \right) = \frac{{ – 3,54}}{{{{\left( {0,01p} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(p \in \left( {0;354} \right]\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;354} \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} x\left( p \right) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} \frac{{354 – p}}{{0,01p}} =  + \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số \(x = x\left( p \right) = \frac{{354 – p}}{{0,01p}}\) với \(p \in \left( {0;354} \right]\) nhận đường thẳng \(p = 0\) làm tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có: \(f\left( p \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{354 – p}}{{0,01p}} = 0 \Leftrightarrow p = 354\)

Đồ thị hàm số \(x = f\left( p \right) = \frac{{354 – p}}{{0,01p}}\) cắt trục hoành tại điểm (354; 0).

Đồ thị hàm số \(x = f\left( p \right) = \frac{{354 – p}}{{0,01p}}\) đi qua các điểm (300; 18); (200; 77).

Đồ thị hàm số \(x = f\left( p \right) = \frac{{354 – p}}{{0,01p}}\) với \(p \in \left( {0;354} \right]\) là đường màu xanh:

– Số lượng đơn vị sản phẩm bán sẽ giảm đi khi giá bán tăng, và sẽ không bán được sản phẩm nào nếu giá bán là 354 nghìn đồng

– Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} x\left( p \right)\): Vì \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {0^ + }} x\left( p \right) =  + \infty \) nên giá bán càng thấp thì số lượng đơn vị sản phẩm sẽ bán được càng nhiều.