Giải SGK Toán 12 (Sách KNTT) Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải chi tiết Giải SGK Toán 12 (Sách KNTT) Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 12 KẾT NỐI – 2024

================

Bài 1.10:

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = – {x^2} + 4x + 3\);
b) \(y = {x^3} – 2{x^2} + 1\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\);
c) \(y = \frac{{{x^2} – 2x + 3}}{{x – 1}}\) trên \(\left( {1; + \infty } \right)\);
d) \(y = \sqrt {4x – 2{x^2}} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(y =  – {x^2} + 4x + 3 =  – {\left( {x – 2} \right)^2} + 7 \le 7\) với mọi số thực x.

Dấu “=” xảy ra khi \(x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Do đó, \(\max f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 7\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

b) GTLN, GTNN của \(y = {x^3} – 2{x^2} + 1\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)

Ta có: \(y’ = 3{x^2} – 4x,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x = \frac{4}{3}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = y\left( {\frac{4}{3}} \right) = \frac{{ – 5}}{{27}}\), hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Ta có: \(y’ = \frac{{\left( {2x – 2} \right)\left( {x – 1} \right) – \left( {{x^2} – 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 2x – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \) (do \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\))

Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = y\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \), hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

d) Tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ {0;2} \right]\)

\(y’ = \frac{{\left( {4x – 2{x^2}} \right)’}}{{2\sqrt {4x – 2{x^2}} }} = \frac{{4 – 4x}}{{2\sqrt {4x – 2{x^2}} }} = \frac{{2\left( {1 – x} \right)}}{{\sqrt {4x – 2{x^2}} }}\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)\)

\(y\left( 0 \right) = 0;y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = 0\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = y\left( 2 \right) = 0\).

Bài 1.11:

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) \(y = {x^4} – 2{x^2} + 3\);

b) \(y = x.{e^{ – x}}\);

c) \(y = x\ln x\);

d) \(y = \sqrt {x – 1}  + \sqrt {3 – x} \).

Lời giải chi tiết

a) \(y = {x^4} – 2{x^2} + 3\)

\(y’ = 4{x^3} – 4x,y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\)

\(y\left( 0 \right) = 3;y\left( 1 \right) = y\left( { – 1} \right) = 2\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left( { – \infty ; + \infty } \right)} y = y\left( 0 \right) = 3,\mathop {\min }\limits_{\left( { – \infty ; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = y\left( { – 1} \right) = 2\)

b) Ta có: \(y’ = {e^{ – x}} – x.{e^{ – x}},y’ = 0 \Leftrightarrow {e^{ – x}} – x.{e^{ – x}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ – x}}\left( {1 – x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên:

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left( { – \infty ; + \infty } \right)} y = y\left( 1 \right) = \frac{1}{e}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Tập xác định của hàm số là: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

\(y’ = \ln x + x.\frac{1}{x} = \ln x + 1,y’ = 0 \Leftrightarrow \ln x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e}\) (thỏa mãn)

Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị lớn nhất, \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( {\frac{1}{e}} \right) = \frac{{ – 1}}{e}\)

d) Tập xác định của hàm số là \(\left[ {1;3} \right]\).

\(y’ = \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} – \frac{1}{{2\sqrt {3 – x} }},y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} – \frac{1}{{2\sqrt {3 – x} }} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {3 – x}  – \sqrt {x – 1} }}{{2\sqrt {3 – x} \sqrt {x – 1} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3 – x}  = \sqrt {x – 1}  \Leftrightarrow 3 – x = x – 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {tm} \right)\)

\(y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = 2;y\left( 3 \right) = \sqrt 2 \)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 2 \right) = 2,\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 1 \right) = y\left( 3 \right) = \sqrt 2 \)

Bài 1.12:

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) \(y = 2{x^3} – 6x + 3\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\);

b) \(y = {x^4} – 3{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\);

c) \(y = x – \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\);

d) \(y = \left( {{x^2} – x} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(y’ = 6{x^2} – 6,y’ = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} – 6 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\) (thỏa mãn)

\(y\left( { – 1} \right) = 7,y\left( 1 \right) =  – 1,y\left( 2 \right) = 7\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = y\left( { – 1} \right) = 7,\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) =  – 1\)

b) Ta có: \(y’ = 4{x^3} – 6x,y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\) (do \(x \in \left[ {0;3} \right]\))

\(y\left( 0 \right) = 2;y\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{ – 1}}{4};y\left( 3 \right) = 56\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 56,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{ – 1}}{4}\)

c) Ta có: \(y’ = 1 – 2\cos 2x,y’ = 0 \Leftrightarrow 1 – 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà \(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6}\)

\(y\left( 0 \right) = 0;y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} – \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( \pi  \right) = \pi \)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = y\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2},\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

d) \(y’ = \left( {2x – 1} \right){e^x} + \left( {{x^2} – x} \right){e^x} = {e^x}\left( {{x^2} + x – 1} \right)\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left( {{x^2} + x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\) (do \(x \in \left[ {0;1} \right]\))

\(y\left( 0 \right) = 0;y\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \left( {2 – \sqrt 5 } \right){e^{\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}}};y\left( 1 \right) = 0\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = y\left( 1 \right) = 0,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \left( {2 – \sqrt 5 } \right){e^{\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}}}\)

Bài 1.13

Đề bài

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm, \(0 < x < 12\))

Chiều rộng của hình chữ nhật là \(12 – x\left( {cm} \right)\)

Diện tích của hình chữ nhật là: \(x\left( {12 – x} \right) =  – {x^2} + 12x\;\left( {c{m^2}} \right)\)

Đặt \(S\left( x \right) =  – {x^2} + 12x,x \in \left( {0;12} \right)\)

\(S’\left( x \right) =  – 2x + 12,S’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6\left( {tm} \right)\)

Bảng biến thiên:

Do đó, trong các hình có cùng chu vi thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là \(36c{m^2}\).

Bài 1.14:

Đề bài

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng \(108c{m^2}\) như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là x (cm, \(x > 0\)) và chiều cao là h (cm, \(h > 0\))

Diện tích bề mặt của hình hộp là \(108c{m^2}\) nên \({x^2} + 4xh = 108 \Rightarrow h = \frac{{108 – {x^2}}}{{4x}}\left( {cm} \right)\)

Thể tích của hình hộp là: \(V = {x^2}.h = {x^2}.\frac{{108 – {x^2}}}{{4x}} = \frac{{108x – {x^3}}}{4}\left( {c{m^3}} \right)\)

Ta có: \(V’ = \frac{{ – 3{x^2} + 108}}{4},V’ = 0 \Leftrightarrow x = 6\) (do \(x > 0\))

Bảng biến thiên:

Do đó, thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy \(x = 6\)cm

Khi đó, chiều cao của hình hộp là: \(\frac{{108 – {6^2}}}{{4.6}} = 3\left( {cm} \right)\).

Bài 1.15

Đề bài

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích \(1\;000c{m^3}\). Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/\(c{m^2}\), trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/\(c{m^2}\). Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy của bình là x (cm, \(x > 0\))

Chiều cao của bình là: \(\frac{{1000}}{{\pi .{x^2}}}\left( {cm} \right)\)

Chi phí để sản xuất một chiếc bình là: \(T\left( x \right) = 2.1,2.\pi .{x^2} + 0,75.\frac{{2000}}{x} = 2,4\pi .{x^2} + \frac{{1500}}{x}\) (nghìn đồng)

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là thấp nhất thì T(x) là nhỏ nhất.

\(T’\left( x \right) = 4,8\pi x – \frac{{1500}}{{{x^2}}},T’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}\) (thỏa mãn)

Bảng biến thiên:

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy của bình là \(\sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}cm\) và chiều cao của bình là: \(\frac{{1000}}{{\pi .{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}}\left( {cm} \right)\)

=============
THUỘC: Giải bài tập Toán 12 – SGK KẾT NỐI