Giải SGK Toán 12 (Sách KNTT) Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số - Sách Toán

Giải chi tiết Giải SGK Toán 12 (Sách KNTT) Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số – SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 12 KẾT NỐI – 2024

================

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Quan sát đồ thị của hàm số $y = {x^2}$ (H.1.2)

Giải SGK Toán 12 (Sách KNTT) Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số 1

a) Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và $y = f\left( x \right)$ là hàm số xác định trên K.

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là đồng biến trên K nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là nghịch biến trên K nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị ta thấy:

+ Xét khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$: $\forall {x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right),{x_1} < {x_2}$ thì $x_1^2 < x_2^2$ hay $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.

Suy ra, hàm số $y = {x^2}$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

+ Xét khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$: $\forall {x_1},{x_2} \in \left( { – \infty ;0} \right),{x_1} < {x_2}$ thì $x_1^2 > x_2^2$hay $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$.

Suy ra, hàm số $y = {x^2}$ nghịch biến trên $\left( { – \infty ;0} \right)$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hình 1.5 là đồ thị của hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$. Hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

Giải SGK Toán 12 (Sách KNTT) Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số 2

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến:

+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Trong khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$ thì đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ đi lên từ trái sang phải nên hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Trong khoảng $\left( {0;2} \right)$ thì đồ thị hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ đi xuống từ trái sang phải nên hàm số $y = {x^3} – 3{x^2} + 2$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giải SGK Toán 12 (Sách KNTT) Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số 3

a) Xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$, $\left( {1; + \infty } \right)$. Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng này.

b) Có nhận xét gì về đạo hàm y’ của hàm số y trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm nhận xét:

+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Lời giải chi tiết:

a) + Xét khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ ta có: $y’ = \left( { – x} \right)’ = – 1 < 0$

Trong khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ ta thấy hàm số y nghịch biến và đạo hàm $y’ < 0$.

+ Xét khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ ta có: $y’ = x’ = 1 > 0$

Trong khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ ta thấy hàm số y đồng biến và đạo hàm $y’ > 0$.

b) Trong khoảng $\left( { – 1;1} \right)$ ta có: $y’ = \left( 1 \right)’ = 0$

Trong khoảng $\left( { – 1;1} \right)$ ta thấy hàm số y không đổi và đạo hàm $y’ = 0$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $y = – {x^2} + 2x + 3$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng K.

+ Nếu $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng K.

+ Nếu $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng K.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y’ = – 2x + 2,y’ > 0$ với $x \in \left( { – \infty ;1} \right)$; $y < 0$ với $x \in \left( {1; + \infty } \right)$.

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 7 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + 2x + 1$.

a) Tính đạo hàm $f’\left( x \right)$ và tìm các điểm x mà $f’\left( x \right) = 0$.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.

c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Phương pháp giải:

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + 2x + 1$.

a) Tính đạo hàm $f’\left( x \right)$ và tìm các điểm x mà $f’\left( x \right) = 0$.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.

c) Nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) $f’\left( x \right) = \left( {{x^3} – 3{x^2} + 2x + 1} \right)’ = 3{x^2} – 6x + 2$

$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 – \sqrt 3 }}{3}\\x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$

Vậy $x = \frac{{3 – \sqrt 3 }}{3},x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}$ thì $f’\left( x \right) = 0$

b) Bảng biến thiên:

Giải SGK Toán 12 (Sách KNTT) Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số 4

c) Hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + 2x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\frac{{3 – \sqrt 3 }}{3}} \right)$ và $\left( {\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)$.

Hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + 2x + 1$ nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{{3 – \sqrt 3 }}{3};\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}} \right)$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2$;

b) $y = \frac{{ – {x^2} + 5x – 7}}{{x – 2}}$.

Phương pháp giải:

– Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu của hàm số để tìm khoảng đơn điệu của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số $y = f\left( x \right)$:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm $f’\left( x \right)$. Tìm các điểm ${x_i}\left( {i = 1,2,…} \right)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm ${x_i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y’ = {x^2} + 6x + 5,y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = – 5\end{array} \right.$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Luyện tập 3 trang 9 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 5} \right)$ và $\left( { – 1; + \infty } \right)$.

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – 5; – 1} \right)$.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta có: $y’ = \frac{{\left( { – 2x + 5} \right)\left( {x – 2} \right) – \left( { – {x^2} + 5x – 7} \right)}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = \frac{{ – {x^2} + 4x – 3}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$

$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Luyện tập 3 trang 9 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Hàm số $y = \frac{{ – {x^2} + 5x – 7}}{{x – 2}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {1;2} \right)$ và $\left( {2;3} \right)$.

Hàm số $y = \frac{{ – {x^2} + 5x – 7}}{{x – 2}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).

b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.

Bài toán mở đầu:

Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (H.1.1). Giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức $s\left( t \right) = {t^3} – 9{t^2} + 15t,t \ge 0$. Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về ý nghĩa cơ học của đạo hàm để tìm hàm vận tốc: Theo ý nghĩa cơ học, vận tốc v(t) là đạo hàm của hàm số s(t).

b) Chất điểm chuyển động theo chiều dương khi $v\left( t \right) > 0$.

Chất điểm chuyển động theo chiều âm khi $v\left( t \right) < 0$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $v\left( t \right) = s’\left( t \right) = \left( {{t^3} – 9{t^2} + 15t} \right)’ = 3{t^2} – 18t + 15$

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} – 18t + 15 > 0 \Leftrightarrow \left( {t – 1} \right)\left( {t – 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 1\\t > 5\end{array} \right.$

$v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} – 18t + 15 < 0 \Leftrightarrow \left( {t – 1} \right)\left( {t – 5} \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 5$

Chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi $v\left( t \right) > 0$, tức là $t \in \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.

Chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi $v\left( t \right) < 0$, tức là $1 < t < 5$.

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 9 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Quan sát đồ thị của hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 4$ (H.1.7). Xét dấu đạo hàm của hàm số đã cho và hoàn thành các bảng sau vào vở:

Phương pháp giải:

– Sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng K.

+ Nếu $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng K.

+ Nếu $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng K.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là R.

Có y’ = 3x² + 6x; y’ = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = −2.

HĐ4 trang 9 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Dựa vào bảng biến thiên trên, ta có

HĐ4 trang 9 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 10 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hình 1.9 là đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$. Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Luyện tập 4 trang 10 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa cực đại, cực tiểu của hàm số để tìm cực đại, cực tiểu của hàm số: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là $ – \infty $, b có thể là $ + \infty $) và điểm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$.

+ Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)$ với mọi $x \in \left( {{x_0} – h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)$ và $x \ne {x_0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại ${x_0}$.

+ Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)$ với mọi $x \in \left( {{x_0} – h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)$ và $x \ne {x_0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại ${x_0}$.

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị hàm số, ta có:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và ${y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 1$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = – 1$ và ${y_{C{\rm{D}}}} = y( – 1) = 5$

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 10 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 3{x^2} + 8x + 1$.

a) Tính đạo hàm $f’\left( x \right)$ và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm $f’\left( x \right)$ bằng 0.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số.

c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

$y’ = {x^2} – 6x + 8$, $y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\end{array} \right.$

Vậy $x = 4;x = 2$ thì $f’\left( x \right) = 0$

b) Bảng biến thiên:

HĐ5 trang 10 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

c) Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 3{x^2} + 8x + 1$ có điểm cực đại là $\left( {2;\frac{{23}}{3}} \right)$.

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 3{x^2} + 8x + 1$ có điểm cực tiểu là $\left( {4;\frac{{19}}{3}} \right)$.

Trả lời câu hỏi trang 11 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Giải thích vì sao nếu f’(x) không đổi dấu qua ${x_0}$ thì ${x_0}$ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định lí cực trị hàm số để chứng minh: Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm ${x_0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left( {a;{x_0}} \right)$ và $\left( {{x_0};b} \right)$. Khi đó:

+ Nếu $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {a;{x_0}} \right)$ và $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( {{x_0};b} \right)$ thì điểm ${x_0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

+ Nếu $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( {a;{x_0}} \right)$ và $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {{x_0};b} \right)$ thì điểm ${x_0}$ là một điểm cực đại của hàm số f(x).d

Lời giải chi tiết:

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm ${x_0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left( {a;{x_0}} \right)$ và $\left( {{x_0};b} \right)$. Nếu f’(x) không đổi dấu qua ${x_0}$ thì:

TH1: $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {a;{x_0}} \right)$ và $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {{x_0};b} \right)$, ta có bảng biến thiên:

Câu hỏi trang 11 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

TH2: $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {a;{x_0}} \right)$ và $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {{x_0};b} \right)$, ta có bảng biến thiên:

Do đó, ${x_0}$ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x).

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 12 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y = {x^4} – 3{x^2} + 1$;

b) $y = \frac{{ – {x^2} + 2x – 1}}{{x + 2}}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về cách tìm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ để tìm cực trị của hàm số:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f’(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y’ = 4{x^3} – 6x,y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.$;

Bảng biến thiên:

Luyện tập 5 trang 12 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}$ và ${y_{CT}} = \frac{{ – 5}}{4}$.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}$.

Ta có: $y’ = \frac{{\left( { – 2x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) – \left( { – {x^2} + 2x – 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ – {x^2} – 4x + 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 5\\x = 1\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Luyện tập 5 trang 12 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = – 5$ và ${y_{CT}} = 12$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 12 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức: $h\left( t \right) = 2 + 24,5t – 4,9{t^2}$. Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về cách tìm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ để tìm thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f’(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: $h\left( t \right) = 2 + 24,5t – 4,9{t^2}$.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: \[h’\left( t \right) = – 9,8t + 24,5;h’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow – 9,8t + 24,5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\].

Bảng biến thiên:

Vận dụng 2 trang 12 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại $t = \frac{5}{2}$,

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là $t = \frac{5}{2}$ giây

=================

Giải bài tập 1.1 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau: a) Đồ thị hàm số (y = {x^3} – frac{3}{2}{x^2}) (H.1.11); b) Đồ thị hàm số (y = sqrt[3]{{{{left( {{x^2} – 4} right)}^2}}}) (H.1.12).

Đề bài

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y = {x^3} – \frac{3}{2}{x^2}$ (H.1.11);

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y = {x^3} – \frac{3}{2}{x^2}$ (H.1.11);

b) Đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 4} \right)}^2}}}$ (H.1.12).

Bài 1.1 trang 13 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

+ Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

+ Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số $y = {x^3} – \frac{3}{2}{x^2}$ đồng biến trên $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Hàm số $y = {x^3} – \frac{3}{2}{x^2}$ nghịch biến trên $\left( {0;1} \right)$.

b) Hàm số $y = \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 4} \right)}^2}}}$ đồng biến trên $\left( { – 2;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Hàm số $y = \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} – 4} \right)}^2}}}$ nghịch biến trên $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$.

Bài 1.2 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: a) (y = frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1); b) (y = – {x^3} + 2{x^2} – 5x + 3).

Đề bài

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1$;

b) $y = – {x^3} + 2{x^2} – 5x + 3$.

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số $y = f\left( x \right)$:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm $f’\left( x \right)$. Tìm các điểm ${x_i}\left( {i = 1,2,…} \right)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm ${x_i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y’ = {x^2} – 4x + 3,y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Giải SGK Toán 12 (Sách KNTT) Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số 5

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1;3} \right)$.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y’ = – 3{x^2} + 4x – 5$

Vì $ – 3{x^2} + 4x – 5 = – 3\left( {{x^2} – 2.\frac{2}{3}.x + \frac{4}{9}} \right) – \frac{{11}}{3} = – 3{\left( {x – \frac{2}{3}} \right)^2} – \frac{{11}}{3} < 0\;\forall x \in \mathbb{R}$

Do đó, $y’ < 0\;\forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy hàm số $y = – {x^3} + 2{x^2} – 5x + 3$ nghịch biến trên $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.

Bài 1.3:

Đề bài

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 2}}$;

b) $y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x – 3}}$.

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu để xét khoảng đồng biến của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số $y = f\left( x \right)$:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm $f’\left( x \right)$. Tìm các điểm ${x_i}\left( {i = 1,2,…} \right)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm ${x_i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}$.

Ta có: $y’ = \frac{{2\left( {x + 2} \right) – \left( {2x – 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 4 – 2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{{\left( {x + 2} \right)}} > 0\;\forall x \ne – 2$

Bài 1.3 trang 13 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Do đó, hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 2}}$ đồng biến trên $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và $\left( { – 2; + \infty } \right)$.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$.

Ta có: $y’ = \frac{{\left( {{x^2} + x + 4} \right)’\left( {x – 3} \right) – \left( {{x^2} + x + 4} \right)\left( {x – 3} \right)’}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x – 3} \right) – {x^2} – x – 4}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 6x – 7}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}$

$y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 6x – 7}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = – 1\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Bài 1.3 trang 13 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x – 3}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;3} \right)$ và $\left( {3;7} \right)$.

Hàm số $y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x – 3}}$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và $\left( {7; + \infty } \right)$.

Bài 1.4:

Đề bài

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) $y = \sqrt {4 – {x^2}} $;
b) $y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$.

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu để xét chiều biến thiên của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số $y = f\left( x \right)$:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm $f’\left( x \right)$. Tìm các điểm ${x_i}\left( {i = 1,2,…} \right)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm ${x_i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \left[ { – 2;2} \right]$.

Ta có: $y’ = \frac{{\left( {4 – {x^2}} \right)’}}{{2\sqrt {4 – {x^2}} }} = \frac{{ – x}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }},y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Bài 1.4 trang 13 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Hàm số $y = \sqrt {4 – {x^2}} $ đồng biến trên khoảng $\left( { – 2;0} \right)$.

Hàm số $y = \sqrt {4 – {x^2}} $ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y’ = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right) – 2x.x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 1 – 2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ – {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}},y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{ – {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 1\end{array} \right.$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Bài 1.4 trang 13 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Hàm số $y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$, $\left( {1; + \infty } \right)$.

Hàm số $y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$.

Bài 1.5

Đề bài

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $N\left( t \right) = \frac{{25t + 10}}{{t + 5}},t \ge 0$, trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.
a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
b) Tính đạo hàm N’(t) và $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N\left( t \right)$. Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến của hàm số để chứng minh: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng K. Nếu $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng K.

Lời giải chi tiết

a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2000 là: $N\left( 0 \right) = \frac{{25.0 + 10}}{{0 + 5}} = \frac{{10}}{5} = 2$ (nghìn người)

Dân số của thị trấn đó vào năm 2015 là: $N\left( {15} \right) = \frac{{25.15 + 10}}{{15 + 5}} = 19,25$ (nghìn người)

b) Ta có: , $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{25t + 10}}{{t + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{25 + \frac{{10}}{t}}}{{1 + \frac{5}{t}}} = 25$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N\left( t \right) = 25$ và nên dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua ngưỡng 25 nghìn người.

Bài 1.6

Đề bài

Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y = f’\left( x \right)$ của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13:
a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Bài 1.6 trang 14 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng K.

+ Nếu $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng K.

+ Nếu $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng K.

Sử dụng kiến thức về định lí cực trị hàm số để giải: Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm ${x_0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left( {a;{x_0}} \right)$ và $\left( {{x_0};b} \right)$. Khi đó:

Lời giải chi tiết

a) Vì $f’\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( {2;4} \right)$ và $x \in \left( {6; + \infty } \right)$. Do đó, hàm số f(x) đồng biến trên $\left( {2;4} \right)$ và $\left( {6; + \infty } \right)$.

Vì $f’\left( x \right) < 0$ khi $x \in \left( {0;2} \right)$ và $x \in \left( {4;6} \right)$. Do đó, hàm số f(x) nghịch biến trên $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {4;6} \right)$.

b) Vì $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {0;2} \right)$ và $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( {2;4} \right)$ thì $x = 2$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Vì $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( {2;4} \right)$ và $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {4;6} \right)$ thì điểm $x = 4$ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Vì $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {4;6} \right)$ và $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( {6; + \infty } \right)$ thì điểm $x = 6$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Bài 1.7

Đề bài

Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) $y = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x – 5$;
b) $y = {x^4} – 4{x^2} + 2$;
c) $y = \frac{{{x^2} – 2x + 3}}{{x – 1}}$;
d) $y = \sqrt {4x – 2{x^2}} $.

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm cực trị của hàm số để tìm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f’(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

$y’ = 6{x^2} – 18x + 12$, $y’ = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} – 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Bài 1.7 trang 14 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x – 5$ có điểm cực đại là $\left( {1;0} \right)$.

Hàm số $y = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x – 5$ có điểm cực tiểu là $\left( {2; – 1} \right)$.

b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Ta có: $y’ = 4{x^3} – 8x,y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Bài 1.7 trang 14 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 2$ đạt cực đại tại $x = 0$ và .

Hàm số $y = {x^4} – 4{x^2} + 2$ đạt cực tiểu tại $x = \pm \sqrt 2 $ và ${y_{CT}} = – 2$.

c) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có: $y’ = \frac{{\left( {2x – 2} \right)\left( {x – 1} \right) – \left( {{x^2} – 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 2x – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}$

$y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 – \sqrt 2 \\x = 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Bài 1.7 trang 14 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y = \frac{{{x^2} – 2x + 3}}{{x – 1}}$ đạt cực đại tại $x = 1 – \sqrt 2 $ và .

Hàm số $y = \frac{{{x^2} – 2x + 3}}{{x – 1}}$ đạt cực tiểu tại $x = 1 + \sqrt 2 $ và ${y_{CT}} = 2\sqrt 2 $.

d) $y = \sqrt {4x – 2{x^2}} $

Tập xác định: $D = \left[ {0;2} \right]$.

Ta có: $y’ = \frac{{\left( {4x – 2{x^2}} \right)’}}{{2\sqrt {4x – 2{x^2}} }} = \frac{{ – x + 1}}{{\sqrt {4x – 2{x^2}} }},y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)$

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Bài 1.7 trang 14 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = 1$, , hàm số không có cực tiểu.

Bài 1.8

Đề bài

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left| x \right|$.
a) Tính các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}}$. Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.
b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x = 0$. (Xem Hình 1.4)

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cực trị hàm số để tìm cực tiểu của hàm số: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là $ – \infty $, b có thể là $ + \infty $) và điểm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)$ với mọi $x \in \left( {{x_0} – h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)$ và $x \ne {x_0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại ${x_0}$.

Lời giải chi tiết

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right| – 0}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\left| x \right| – 0}}{{x – 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{ – x}}{x} = – 1$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}}$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.

b) Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \left| x \right|$:

Giải SGK Toán 12 (Sách KNTT) Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số 6

Ta có: $y = f\left( x \right) = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} – x\;khi\;x \in \left( { – \infty ;0} \right)\\x\;\;\;khi\;x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.$

Hàm số $y = f\left( x \right) = \left| x \right|$ liên tục và xác định trên $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$

Với số $h > 0$ ta có: Với $x \in \left( { – h;h} \right) \subset \left( { – \infty ; + \infty } \right)$ và $x \ne 0$ thì $y = f\left( x \right) = \left| x \right| > 0 = f\left( 0 \right)$

Do đó, hàm số $y = f\left( x \right) = \left| x \right|$ có cực tiểu là $x = 0$.

Bài 1.9

Đề bài

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f\left( t \right) = \frac{{5\;000}}{{1 + 5{e^{ – t}}}},t \ge 0,$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm cực trị của hàm số để tìm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f’(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f’\left( t \right) = \frac{{ – 5000\left( {1 + 5{e^{ – t}}} \right)’}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ – t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25\;000{e^{ – t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ – t}}} \right)}^2}}}$

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi $f’\left( t \right)$ lớn nhất.

Đặt $h\left( t \right) = \frac{{25\;000{e^{ – t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ – t}}} \right)}^2}}}$.

$h’\left( t \right) = \frac{{ – 25\;000{e^{ – t}}{{\left( {1 + 5{e^{ – t}}} \right)}^2} – 2.\left( { – 5{e^{ – t}}} \right).\left( {1 + 5{e^{ – t}}} \right).25\;000{e^{ – t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ – t}}} \right)}^4}}}$

$ = \frac{{ – 25\;000{e^{ – t}}\left( {1 + 5{e^{ – t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ – t}} – 10{e^{ – t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ – t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ – 25\;000{e^{ – t}}\left( {1 – 5{e^{ – t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ – t}}} \right)}^3}}}$

$h’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ – 25\;000{e^{ – t}}\left( {1 – 5{e^{ – t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ – t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 – 5{e^{ – t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ – t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5$ ™

Ta có bảng biến thiên với $t \in \left[ {0; + \infty } \right)$:

Bài 1.9 trang 14 Toán 12 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 12

Vậy sau khi phát hành khoảng $\ln 5 \approx 1,6$ năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

============= ============= THUỘC: Giải bài tập Toán 12 – SGK KẾT NỐI

Giải bài tập 1.1 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau: a) Đồ thị hàm số (y = {x^3} – frac{3}{2}{x^2}) (H.1.11); b) Đồ thị hàm số (y = sqrt[3]{{{{left( {{x^2} – 4} right)}^2}}}) (H.1.12).

Bài 1.2 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: a) (y = frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 1); b) (y = – {x^3} + 2{x^2} – 5x + 3).

Đề bài

Reader Interactions

Để lại một bình luận Hủy