Giải SBT (Cánh diều) Toán 8 Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

Đề bài

Thực hiện phép tính:

a) \(\frac{{x + 2y}}{a} + \frac{{x – 2y}}{a}\) với \(a\) là một số khác 0

b) \(\frac{x}{{x – 1}} + \frac{1}{{1 – x}}\)

c) \(\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} – 1}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{1 – x}}\)

d) \(x + \frac{1}{{x + 1}} – 1\)

Sử dụng phương pháp cộng trừ phân thức đại số để thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của biểu thức là \(a \ne 0\)

\(\frac{{x + 2y}}{a} + \frac{{x – 2y}}{a} = \frac{{\left( {x + 2y} \right) + \left( {x – 2y} \right)}}{a} = \frac{{x + 2y + x – 2y}}{a} = \frac{{2x}}{a}\)

b) Điều kiện xác định của biểu thức là \(x \ne 1\)

\(\frac{x}{{x – 1}} + \frac{1}{{1 – x}} = \frac{x}{{x – 1}} – \frac{1}{{x – 1}} = \frac{{x – 1}}{{x – 1}} = 1\)

c) Điều kiện xác định của biểu thức là \(x \ne – 1\)

\(\begin{array}{l}x + \frac{1}{{x + 1}} – 1 = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} – \frac{{1\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 1 – x – 1}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\end{array}\)

Đề bài

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

a) \(A = x + 1 – \frac{{{x^2} – 4}}{{x – 1}}\) tại \(x = – 4\)

b) \(B = \frac{1}{{5 – x}} – \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} – 25}}\) tại \(x = 99\)

c) \(C = \frac{1}{{x – 1}} – \frac{{2x}}{{{x^3} – {x^2} + x – 1}}\) tại \(x = 0,7\)

d) \(D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\) tại \(\frac{1}{{23}}\)

Muốn rút gọn hai phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2: tìm nhân tử chung của 2 phân thức rồi quy đồng.

Bước 3: thực hiện rút gọn sau đó tính giá trị của phân thức đã rút gọn

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = A = x + 1 – \frac{{{x^2} – 4}}{{x – 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{x – 1}} – \frac{{{x^2} – 4}}{{x – 1}} = \frac{{{x^2} – 1 – \left( {{x^2} – 4} \right)}}{{x – 1}}\\ = \frac{{{x^2} – 1 – {x^2} + 4}}{{x – 1}} = \frac{3}{{x – 1}}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x = – 4\) là: \(\frac{3}{{ – 4 – 1}} = \frac{{ – 3}}{5}\)

b) Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ne \pm 5\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{5 – x}} – \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} – 25}} = \frac{{ – 1}}{{x – 5}} – \frac{{{x^2} + 5x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)}}\\ = \frac{{ – 1\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} – \frac{{{x^2} + 5x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)}}\\ = \frac{{ – 1\left( {x + 5} \right) – {x^2} – 5x}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)}}\\ = \frac{{ – x – 5 – {x^2} – 5x}}{{\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{ – \left( {x + 5} \right) – \left( {{x^2} + 5x} \right)}}{{\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{ – \left( {x + 5} \right) – x\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}\\ = \frac{{\left( { – 1 – x} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{ – 1 – x}}{{x – 5}}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(B\) tại \(x = 99\) là: \(\frac{{ – 1 – 99}}{{99 – 5}} = \frac{{ – 50}}{{47}}\)

c) Ta có: \({x^3} – {x^2} + x – 1 = \left( {{x^3} – {x^2}} \right) + \left( {x – 1} \right) = {x^2}\left( {x – 1} \right) + \left( {x – 1} \right) = \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(C\) là: \(x \ne 1\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}C = \frac{1}{{x – 1}} – \frac{{2x}}{{{x^3} – {x^2} + x – 1}} = \frac{1}{{x – 1}} – \frac{{2x}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} – \frac{{2x}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1 – 2x}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{x – 1}}{{{x^2} + 1}}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(C\) tại \(x = 0,7\) là: \(\frac{{0,7 – 1}}{{0,{7^2} + 1}} = \frac{{ – 30}}{{149}}\)

d) Điều kiện xác định của biểu thức \(D\) là: \(x \ne 0;x \ne – 1;x \ne – 2\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\\ = \left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right) + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{x}\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = \frac{1}{{23}}\) là: \(\frac{1}{{\frac{1}{{23}}}} = 23\)

Đề bài

Cho biểu thức: \(T = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 4}} – \frac{x}{{x – 2}} – \frac{2}{{x + 2}}\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(T\)

b) Tìm giá trị của \(x\) để \(T = 0\).

c) Tìm giá trị nguyên của \(x\) để \(T\) nhận giá trị dương.

Áp dụng phương pháp cộng trừ phân thức đại số để rút gọn phép tính, sau đó tìm điều kiện xác định và giá trị của phân thức.

Lời giải chi tiết

Ta có: \({x^2} – 4 = \left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)\) nên điều kiện xác định của biểu thức \(T\) là \(x – 2 \ne 0;x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne 2;x \ne – 2\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}T = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} – 4}} – \frac{x}{{x – 2}} – \frac{2}{{x + 2}}\\ = \frac{{{x^3}}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} – \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} – \frac{{2\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} – {x^2} – 2x – 2x + 4}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^3} – {x^2} – 4x + 4}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^3} – 4x} \right) – \left( {{x^2} – 4} \right)}}{{{x^2} – 4}} = \frac{{x\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( {{x^2} – 4} \right)}}{{{x^2} – 4}}\\ = \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} – 4} \right)}}{{{x^2} – 4}} = x – 1\end{array}\)

Suy ra \(T = 0\) khi \(x – 1 = 0\) hay \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện xác định

Vậy \(x = 1\) thì \(T = 0\)

c) Để \(T > 0\) thì \(x – 1 > 0\) hay \(x > 1\). Kết hợp với \(x\) là số nguyên và điều kiện xác định \(x \ne 2;x \ne – 2\), suy ra \(x \in \left\{ {3;4;5;…} \right\}\)

Đề bài

Một tàu tuần tra đi ngược dòng 60km, sau đó tàu đi xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông. Biết tốc độ của dòng nước là 2 km/h. Gọi \(x\) (km/h) là tốc độ của tàu tuần tra \(\left( {x > 2} \right)\). Viết phân thức biểu thị theo \(x\):

a) Thời gian tài tuần tra đi ngược dòng;

b) Thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng;

c) Hiệu giữa thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng và thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng.

Sử dụng phương pháp cộng trừ hai phân thức đại số để viết và giải phân thức.

Lời giải chi tiết

a) Do tốc độ tàu tuần tra đi ngược dòng là \(x – 2\) (km/h) nên phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng là: \(\frac{{60}}{{x – 2}}\) giờ

b) Do tốc độ tàu tuần tra đi xuôi dòng là \(x + 2\) (km/h) nên phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là: \(\frac{{48}}{{x + 2}}\) giờ

c) Hiệu giữa thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng và thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là: \(\frac{{60}}{{x – 2}} – \frac{{48}}{{x + 2}} = \frac{{60\left( {x + 2} \right) – 48\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{12x + 216}}{{{x^2} – 4}}\) (giờ)

Đề bài

Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 120 tấn hàng gửi tằng đồng bào gặp thiên tai. Lúc sắp khởi hành, đội được bổ sung 5 xe cùng loại nữa. Biết khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở là như nhau. Gọi \(x\) là số xe mà đội xe dự định dùng \(\left( {x \in \mathbb{N}^*} \right)\). Viết phân thức biểu thị theo \(x\).

a) Khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo dự định;

b) Khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo thực tế;

c) Hiệu khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo dự định và khối lượng hàng mỗi xe phải chở theo thực tế.

Sử dụng phương pháp cộng trừ hai phân thức đại số để viết và giải phân thức.

Lời giải chi tiết

a) Khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo dự định là: \(\frac{{120}}{x}\) (tấn)

b) Khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo thực tế là: \(\frac{{120}}{{x + 5}}\) (tấn)

c) Hiệu khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo dự định và khối lượng hàng mỗi xe phải chở theo thực tế là: \(\frac{{120}}{x} – \frac{{120}}{{x + 5}} = \frac{{120\left( {x + 5} \right) – 120x}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{120x + 600 – 120x}}{{{x^2} + 5x}}\frac{{600}}{{{x^2} + 5x}}\) (tấn)