Giải SBT (Cánh diều) Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số

Đề bài

Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

a) \(\frac{3}{{2x\left( {5 – x} \right)}}\)

b) \(\frac{{4x}}{{{x^2} – 4}}\)

c) \(\frac{x}{{{y^2} + 2xy}}\)

d) \(\frac{{6,4y}}{{0,4{x^2} + 0,4x}}\)

Điều kiện xác định của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi là điều kiện xác định của phân thức.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{3}{{2x\left( {5 – x} \right)}}\) là: \(2x\left( {5 – x} \right) \ne 0\)

b) Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} – 4}}\) là: \({x^2} – 4 \ne 0\)

c) Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{x}{{{y^2} + 2xy}}\) là: \({y^2} + 2xy \ne 0\)

d) Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{6,4y}}{{0,4{x^2} + 0,4x}}\) là: \(0,4{x^2} + 0,4x \ne 0\)

Đề bài

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy giải thích vì sao có thể viết:

a) \(\frac{{{x^2}{y^3}}}{{2{x^2}{y^2}}} = \frac{y}{2}\)

b) \(\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}}\)

c) \(\frac{{{x^2} – 3x + 9}}{{{x^3} + 27}} = \frac{1}{{x + 3}}\)

Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) được gọi là bằng nhau nếu \(A.D = B.C\) viết là \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({x^2}{y^3}.2 = 2{x^2}{y^3}\) và \(2{x^2}{y^2}.y = 2{x^2}{y^3}\) nên \({x^2}{y^3}.2 = 2{x^2}{y^2}.y\)

Vậy \(\frac{{{x^2}{y^3}}}{{2{x^2}{y^2}}} = \frac{y}{2}\)

b) Ta có: \(\left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x – 1} \right) = {x^3} – {x^2} – 2x – {x^2} + x + 2 = {x^3} – 2{x^2} – x + 2\)

và \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = {x^3} – 3{x^2} + 2x + {x^2} – 3x + 2 = {x^3} – 2{x^2} – x + 2\)

Vậy \(\frac{{{x^2} – x – 2}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}}\)

c) Ta có: \(\left( {{x^2} – 3x + 9} \right)\left( {x + 3} \right) = {x^3} – 3{x^2} + 9x + 3{x^2} – 9x + 27 = {x^3} + 27\)

\(\left( {{x^3} + 27} \right).1 = {x^3} + 27\)

Vậy \(\frac{{{x^2} – 3x + 9}}{{{x^3} + 27}} = \frac{1}{{x + 3}}\).

Đề bài

Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Vì sao?

a) \(\frac{x}{{5x + 5}}\) và \(\frac{1}{5}\)

b) \(\frac{{ – x}}{{x – 5}}\) và \(\frac{{ – x\left( {x – 5} \right)}}{{{{\left( {x – 5} \right)}^2}}}\)

c) \(\frac{{ – 5}}{{ – x – y}}\) và \(\frac{5}{{x + y}}\)

d) \(\frac{{ – x}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}\) và \(\frac{x}{{{{\left( {3 – x} \right)}^2}}}\)

Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) được gọi là bằng nhau nếu \(A.D = B.C\) viết là \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(x.5 = 5x\) và \(\left( {5x + 5} \right).1 = 5x + 5\)

Do \(x.5 \ne \left( {5x + 5} \right).1\) nên hai phân thức \(\frac{x}{{5x + 5}}\) và \(\frac{1}{5}\) không bằng nhau.

b) Ta có: \( – x.{\left( {x – 5} \right)^2} = – x{\left( {x – 5} \right)^2}\) và \(\left( {x – 5} \right).\left[ { – x\left( {x – 5} \right)} \right] = – x{\left( {x – 5} \right)^2}\)

nên \( – x.{\left( {x – 5} \right)^2} = \left( {x – 5} \right).\left[ { – x\left( {x – 5} \right)} \right]\)

Vậy \(\frac{{ – x}}{{x – 5}} = \frac{{ – x\left( {x – 5} \right)}}{{{{\left( {x – 5} \right)}^2}}}\)

c) Ta có: \( – 5.\left( {x + y} \right) = – 5\left( {x + y} \right)\) và \(\left( { – x – y} \right).5 = – 5\left( {x + y} \right)\)

nên \( – 5.\left( {x + y} \right) = \left( { – x – y} \right).5\)

Vậy \(\frac{{ – 5}}{{ – x – y}} = \frac{5}{{x + y}}\)

d) Ta có: \( – x.{\left( {3 – x} \right)^2} = – x{\left( {x – 3} \right)^2}\) và \({\left( {x – 3} \right)^2}.x = x{\left( {x – 3} \right)^2}\)

Do \( – x{\left( {x – 3} \right)^2} \ne x{\left( {x – 3} \right)^2}\) nên khi \(x \ne 0\) và \(x \ne 3\) thì hai phân thức \(\frac{{ – x}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}\) và \(\frac{x}{{{{\left( {3 – x} \right)}^2}}}\) không bằng nhau

Đề bài

Rút gọn mỗi phân thức sau:

a) \(\frac{{25{x^2}{y^3}}}{{35{x^3}{y^2}}}\)

b) \(\frac{{x – y}}{{y – x}}\)

c) \(\frac{{{{\left( { – x} \right)}^5}{y^2}}}{{{x^2}{{\left( { – y} \right)}^3}}}\)

d) \(\frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^3} – 4{x^2} + 4x}}\)

Muốn rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau:

Bước 1: phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần)

Bước 2: tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của phân thức là \(x \ne 0;y \ne 0\)

Ta có: \(\frac{{25{x^2}{y^3}}}{{35{x^3}{y^2}}} = \frac{{5.5{x^2}{y^3}}}{{5.7{x^3}{x^2}}} = \frac{{5y}}{{7x}}\)

b) Điều kiện xác định của phân thức là \(y – x \ne 0\)

Ta có: \(\frac{{x – y}}{{y – x}} = \frac{{ – \left( {y – x} \right)}}{{y – x}} = – 1\)

c) Điều kiện xác định của phân thức là \(x \ne 0;y \ne 0\)

Ta có: \(\frac{{{{\left( { – x} \right)}^5}{y^2}}}{{{x^2}{{\left( { – y} \right)}^3}}} = \frac{{\left( { – 1} \right).{x^5}{y^2}}}{{\left( { – 1} \right).{x^2}{y^3}}} = \frac{{{x^3}}}{y}\)

d) Điều kiện xác định của phân thức là \({x^3} – 4{x^2} + 4x \ne 0\)

Ta có: \(\frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^3} – 4{x^2} + 4x}} = \frac{{x\left( {x – 2} \right)}}{{x\left( {{x^2} – 4x + 4} \right)}} = \frac{{x\left( {x – 2} \right)}}{{x{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x – 2}}\)

Đề bài

Tính giá trị của biểu thức:

a) \(A = \frac{{{x^5}{y^2}}}{{{{\left( {xy} \right)}^3}}}\) tại \(x = 1;y = 2\)

b) \(B = \frac{{ – 4\left( {x – 2} \right){x^2}}}{{20\left( {2 – x} \right){y^2}}}\) tại \(x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{5}\).

c) \(C = \frac{{{x^2} – 8x + 7}}{{{x^2} – 1}}\) tại \(x = – 7\)

d) \(D = \frac{{5{x^2} – 10xy + 5{y^2}}}{{{x^2} – {y^1}}}\) tại \(x = 0,5;y = 0,6\).

Cho phân thức \(\frac{P}{Q}\). Giá trị của biểu thức \(\frac{P}{Q}\) tại những giá trị cho trước của các biến sao cho giá trị của mẫu thức khác 0 được gọi là giá trị của phân thức \(\frac{P}{Q}\) là những giá trị cho trước của các biến đó.

Lời giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{x^5}{y^2}}}{{{{\left( {xy} \right)}^3}}} = \frac{{{x^5}{y^2}}}{{{x^3}{y^3}}} = \frac{{{x^2}}}{y}\)

ĐKXĐ: \({\left( {xy} \right)^3} \ne 0\)

Giá trị của \(A\) khi \(x = 1;y = 2\) là: \(\frac{{{1^2}}}{2} = \frac{1}{2}\)

b) Rút gọn biểu thức: \(B = \frac{{ – 4\left( {x – 2} \right){x^2}}}{{20\left( {2 – x} \right){y^2}}} = \frac{{ – 4. – \left( {2 – x} \right){x^2}}}{{20.\left( {2 – x} \right){y^2}}} = \frac{{{x^2}}}{{5{y^2}}}\)

ĐKXĐ: \(20\left( {2 – x} \right){y^2} \ne 0\)

Giá trị của \(A\) khi \(x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{5}\) là: \(\frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}}{{5.{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}}} = \frac{5}{4}\)

c) Rút gọn biểu thức: \(C = \frac{{{x^2} – 8x + 7}}{{{x^2} – 1}} = \frac{{\left( {x – 7} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x – 7}}{{x + 1}}\)

ĐKXĐ: \({x^2} – 1 \ne 0\)

Giá trị của \(C\) khi \(x = – 7\) là: \(\frac{{\left( { – 7 – 7} \right)}}{{\left( { – 7 – 1} \right)}} = \frac{7}{4}\)

d) Rút gọn biểu thức: \(D = \frac{{5{x^2} – 10xy + 5{y^2}}}{{{x^2} – {y^2}}} = \frac{{5\left( {{x^2} – 2xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{5{{\left( {x – y} \right)}^2}}}{{\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{5\left( {x – y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)}}\)

ĐKXĐ: \({x^2} + {y^2} \ne 0\)

Giá trị của \(D\) khi \(x = 0,5;y = 0,6\) là: \(\frac{{5\left( {0,5 – 0,6} \right)}}{{\left( {0,5 + 0,6} \right)}} = – \frac{5}{{11}}\)

Đề bài

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\frac{2}{{15{x^3}{y^2}}};\frac{y}{{10{x^4}{z^3}}}\) và \(\frac{x}{{20{y^3}z}}\)

b) \(\frac{x}{{2x + 6}}\) và \(\frac{4}{{{x^2} – 9}}\)

c) \(\frac{{2x}}{{{x^3} – 1}}\) và \(\frac{{x – 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

d) \(\frac{x}{{1 + 2x + {x^2}}}\) và \(\frac{3}{{5{x^2} – 5}}\)

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta có thể làm như sau:

Bước 1: phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) rồi tìm mẫu thức chung (MTC)

Bước 2: tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu)

Bước 3: nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

Chọn MTC là: \(60{x^4}{y^3}{z^3}\).

Nhân tử phụ của ba mẫu thức \(15{x^3}{y^2};10{x^4}{z^3};20{y^3}z\) lần lượt là: \(4xy{z^3};6{y^3};3{x^4}{z^2}\)

Vậy: \(\frac{2}{{15{x^3}{y^2}}} = \frac{{2\left( {4xy{z^3}} \right)}}{{15{x^3}{y^2}.4xy{z^3}}} = \frac{{8xy{z^3}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}\)

\(\frac{y}{{10{x^4}{z^3}}} = \frac{{y.6{y^3}}}{{10{x^4}{z^3}}} = \frac{{6{y^4}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}\)

\(\frac{x}{{20{y^3}z}} = \frac{{x.3{x^4}{z^2}}}{{20{y^3}z.3{x^4}{z^2}}} = \frac{{3{x^5}{z^2}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}\)

b) Ta có: \(2x + 6 = 2\left( {x + 3} \right);{x^2} – 9 = \left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)\)

Chọn MTC là: \(2\left( {{x^2} – 9} \right)\)

Nhân tử phụ của hai mẫu thức \(2x + 6;{x^2} – 9\) lần lượt là \(\left( {x – 3} \right);2\)

Vậy: \(\frac{x}{{2x + 6}} = \frac{{x\left( {x – 3} \right)}}{{2\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}} = \frac{{{x^2} – 3x}}{{2\left( {{x^2} – 9} \right)}}\)

\(\frac{4}{{{x^2} – 9}} = \frac{{4.2}}{{2\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}} = \frac{8}{{2\left( {{x^2} – 9} \right)}}\)

c) Ta có: \({x^3} – 1 = \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\)

Chọn MTC là: \({x^3} – 1\)

Nhân tử phụ của hai mẫu thức \({x^3} – 1;{x^2} + x + 1\) lần lượt là: \(1;\left( {x – 1} \right)\)

Vậy: \(\frac{{2x}}{{{x^3} – 1}}\)

\(\frac{{x – 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{{{x^3} – 1}}\)

d) Ta có: \(1 + 2x + {x^2} = {\left( {x + 1} \right)^2};5{x^2} – 5 = 5\left( {{x^2} – 1} \right) = 5\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

Chọn MTC là: \(5\left( {x – 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\)

Nhân tử phụ của hai mẫu thức \(1 + 2x + {x^2};5{x^2} – 5\) lần lượt là: \(5\left( {x – 1} \right);x + 1\)

Vậy: \(\frac{x}{{1 + 2x + {x^2}}} = \frac{{x.5.\left( {x – 1} \right)}}{{5\left( {x – 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{5x\left( {x – 1} \right)}}{{5\left( {x – 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(\frac{3}{{5{x^2} – 5}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {x – 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Đề bài

Chứng tỏ giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến (với \(a\) là một số):

a) \(\frac{{{x^2} – {y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {ax – ay} \right)}}\left( {a \ne 0} \right)\)

b) \(\frac{{{{\left( {x + a} \right)}^2} – {x^2}}}{{2x + a}}\)

Sử dụng phương pháp rút gọn phân thức để chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\frac{{{x^2} – {y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {ax – ay} \right)}} = \frac{{\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right).a\left( {x – y} \right)}} = \frac{1}{a}\)

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Ta có: \(\frac{{{{\left( {x + a} \right)}^2} – {x^2}}}{{2x + a}} = \frac{{\left( {x + a – x} \right)\left( {x + a + x} \right)}}{{2x + a}} = \frac{{a\left( {2x + a} \right)}}{{2x + a}} = a\)

Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Đề bài

Một miếng bìa có dạng hình vuông với độ dài xạnh là \(x\) (cm). Người ta cắt đi ở mỗi góc của miếng bìa một hình vuông sao cho bốn hình vuông bị cắt đi có cùng độ dài cạnh là \(y\) (cm) với \(0 < 2y < x\) (Hình 2).

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của miếng bìa ban đầu và phần miếng bìa còn lại sau khi bị cắt.

b) Tính giá trị của phân thức đó tại \(x = 4;y = 1\)

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật và công thức tính diện tích hình vuông để viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của miếng bìa ban đầu và phần miếng bìa còn lại sau khi bị cắt.

Lời giải chi tiết

a) Diện tích của miếng bìa ban đầu là: \({x^2}\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích của phần bìa còn lại sau khi cắt là: \({x^2} – 4{y^2}\left( {c{m^2}} \right)\)

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của miếng bìa ban đầu và phần miếng bìa còn lại sau khi bị cắt là: \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} – 4{y^2}}}\)

b) Giá trị của phân thức \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} – 4{y^2}}}\) tại \(x = 4;y = 1\) là: \(\frac{{{4^2}}}{{{4^2} – {{4.1}^2}}} = \frac{4}{3}\)