Giải SBT (Cánh diều) Toán 8 Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Đề bài

Thực hiện phép tính:

a) \(\frac{{24{y^5}}}{{7{x^2}}}.\left( { – \frac{{49x}}{{12{y^3}}}} \right)\)

b) \( – \frac{{36{y^3}}}{{15{x^4}}}.\left( { – \frac{{45{x^2}}}{{9{y^3}}}} \right)\)

c) \(\frac{{{x^2} – {y^2}}}{{{x^2}}}.\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}\)

d) \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} – 1}}.\frac{{1 – 3x + 3{x^2} – {x^3}}}{{9x + 27}}\)

Sử dụng các hằng đẳng thức và phương pháp thực hiện phép chia và phép nhân phân thức đại số để thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết

a) \(\frac{{24{y^5}}}{{7{x^2}}}.\left( { – \frac{{49x}}{{12{y^3}}}} \right) = \frac{{12{y^3}.2{y^2}}}{{7{x^2}}}.\left( { – \frac{{7x.7}}{{12{y^3}}}} \right) = – \frac{{14{y^2}}}{x}\)

b) \( – \frac{{36{y^3}}}{{15{x^4}}}.\left( { – \frac{{45{x^2}}}{{9{y^3}}}} \right) = – \frac{{9{y^3}.4}}{{15{x^2}.{x^2}}}.\left( { – \frac{{15{x^2}.3}}{{9{y^3}}}} \right) = \frac{{12}}{{{x^2}}}\)

c) \(\frac{{{x^2} – {y^2}}}{{{x^2}}}.\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x – y} \right)}}{{{x^2}}}.\frac{{{x^2}.{x^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2}\left( {x – y} \right)}}{{x + y}}\)

d) \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} – 1}}.\frac{{1 – 3x + 3{x^2} – {x^3}}}{{9x + 27}} = \frac{{x + 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}.\frac{{ – {{\left( {x – 1} \right)}^3}}}{{9\left( {x + 3} \right)}} = – \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{{9\left( {x + 1} \right)}}\)

Đề bài

Thực hiện phép tính:

a) \(\frac{1}{{{x^2} – x + 1}}:\frac{{x + 1}}{{x – 1}}\)

b) \(\frac{{x + y}}{{2x – y}}:\frac{1}{{x – y}}\)

c) \(\frac{{{x^3}y + x{y^3}}}{{{x^4}y}}:\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

d) \(\frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} – 2x + 1}}:\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{1 – {x^2}}}\)

Sử dụng các hằng đẳng thức và phương pháp thực hiện phép chia và phép nhân phân thức đại số để thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết

a) \(\frac{1}{{{x^2} – x + 1}}:\frac{{x + 1}}{{x – 1}} = \frac{1}{{{x^2} – x + 1}}.\frac{{x – 1}}{{x + 1}} = \frac{{x – 1}}{{{x^3} + 1}}\)

b) \(\frac{{x + y}}{{2x – y}}:\frac{1}{{x – y}} = \frac{{x + y}}{{2x – y}}.\frac{{x – y}}{1} = \frac{{{x^2} – {y^2}}}{{2x – y}}\)

c) \(\frac{{{x^3}y + x{y^3}}}{{{x^4}y}}:\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = \frac{{xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{{x^4}y}}.\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} = \frac{1}{{{x^3}}}\)

d) \(\frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} – 2x + 1}}:\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{1 – {x^2}}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2x + {y^2}} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}.\frac{{ – \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = – \frac{{{x^2} – 2x + 4}}{{x – 1}}\)

Đề bài

Tính một cách hợp lí:

a) \(\frac{{39x + 7}}{{x – 2020}}.\frac{{9x – 20}}{{x + 2022}} – \frac{{39x + 7}}{{x – 2020}}.\frac{{8x – 2042}}{{x + 2022}}\)

b) \(\frac{{{x^2} – 81}}{{{x^2} + 101}}.\left( {\frac{{{x^2} + 101}}{{x – 9}} + \frac{{{x^2} + 101}}{{x + 9}}} \right)\)

c) \(\frac{{{x^2} – 1}}{{x + 100}}.\frac{{2x}}{{x + 2}} + \frac{{1 – {x^2}}}{{x + 100}}.\frac{{x – 100}}{{x + 2}}\)

Sử dụng các hằng đẳng thức và phương pháp thực hiện phép chia và phép nhân phân thức đại số để thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{39x + 7}}{{x – 2020}}.\frac{{9x – 20}}{{x + 2022}} – \frac{{39x + 7}}{{x – 2020}}.\frac{{8x – 2042}}{{x + 2022}}\\ = \frac{{39 + 7}}{{x – 2020}}.\left( {\frac{{9x – 20}}{{x + 2022}} – \frac{{8x – 2042}}{{x + 2022}}} \right)\\ = \frac{{39 + 7}}{{x – 2020}}.\frac{{x + 2022}}{{x + 2022}}\\ = \frac{{39 + 7}}{{x – 2020}}\end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} – 81}}{{{x^2} + 101}}.\left( {\frac{{{x^2} + 101}}{{x – 9}} + \frac{{{x^2} + 101}}{{x + 9}}} \right)\\ = \frac{{\left( {x – 9} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{{x^2} + 101}}.\frac{{{x^2} + 101}}{{x – 9}} + \frac{{\left( {x – 9} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{{x^2} + 101}}.\frac{{{x^2} + 101}}{{x + 9}}\\ = x + 9 + x – 9 = 2x\end{array}\)

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} – 1}}{{x + 100}}.\frac{{2x}}{{x + 2}} + \frac{{1 – {x^2}}}{{x + 100}}.\frac{{x – 100}}{{x + 2}}\\ = \frac{{{x^2} – 1}}{{x + 100}}\left( {\frac{{2x}}{{x + 2}} – \frac{{x – 100}}{{x + 2}}} \right)\\ = \frac{{{x^2} – 1}}{{x + 100}}.\frac{{x + 100}}{{x + 2}}\\ = \frac{{{x^2} – 1}}{{x + 2}}\end{array}\)

Đề bài

Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) \(M = \frac{{x – 2y}}{{3x + 6y}}:\frac{{{x^2} – 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}\)

b) \(N = \left( {x – \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x – y}}} \right)\)

c) \(P = \left( {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} – xy} \right):\left( {{x^2} – {y^2}} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\)

Rút gọn các biểu thức để cho giá trị của biểu thức là một hằng số thì giá trị của biểu thức sẽ không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Lời giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức \(M\) ta có:

\(\begin{array}{l}M = \frac{{x – 2y}}{{3x + 6y}}:\frac{{{x^2} – 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}\\ = \frac{{x – 2y}}{{3x + 6y}}.\frac{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}{{{x^2} – 4{y^2}}}\\ = \frac{{\left( {x – 2y} \right).{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{{3\left( {x + 2y} \right).\left( {x – 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{1}{3}\end{array}\)

Ta thấy \(M = \frac{1}{3}\) vậy giá trị của biểu thức \(M\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Rút gọn biểu thức \(N\) ta có:

\(\begin{array}{l}N = \left( {x – \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x – y}}} \right)\\ = \left( {\frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} – \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{{x – y}}{{y\left( {x – y} \right)}} + \frac{{2y}}{{y\left( {x – y} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{{{x^2} + xy – {x^2} – {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{{x – y + 2y}}{{y\left( {x – y} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{{xy – {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{y\left( {x – y} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{{y\left( {x – y} \right)}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{y\left( {x – y} \right)}}} \right)\\ = 1\end{array}\)

Ta thấy \(N = 1\) vậy giá trị của biểu thức \(N\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) Rút gọn biểu thức \(P\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} – xy} \right):\left( {{x^2} – {y^2}} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \left( {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} – xy + {y^2}} \right)}}{{x + y}} – xy} \right):\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \left( {{x^2} – xy + {y^2} – xy} \right):\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \frac{{{x^2} + {y^2} – 2xy}}{{\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \frac{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}{{\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \frac{{x – y}}{{x + y}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \frac{{x + y}}{{x + y}} = 1\end{array}\)

Ta thấy \(P = 1\) vậy giá trị của biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Đề bài

Hai máy bay cùng bay quãng đường 600 km. Biết tốc độ của máy bay thứ hai lớn hơn tốc độ của máy bay thứ nhất là 300 km/h. Gọi \(x\) (km/h) là tốc độ của máy bay thứ nhất \(\left( {x > 0} \right)\). Viết phân thức biểu thị theo \(x\).

a) Thời gian máy bay thứ nhất đã bay

b) Thời gian máy bay thứ hai đã bay

c) Tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay.

Áp dụng phương pháp thực hiện phép nhân và phép chia đa thức để tính.

Lời giải chi tiết

a) Phân thức biểu thị thời gian máy bay thứ nhất đã bay là: \(\frac{{600}}{x}\) (giờ)

b) Phân thức biểu thị thời gian máy bay thứ hai đã bay là: \(\frac{{600}}{{x + 300}}\) (giờ)

c) Tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là: \(\frac{{600}}{x}:\frac{{600}}{{x + 300}} = \frac{{600}}{x}.\frac{{x + 300}}{{600}} = \frac{{x + 300}}{x}\)

Vậy phân thức biểu thị tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là: \(\frac{{x + 300}}{x}\).

Đề bài

Trên một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là \(x\left( m \right)\), chiều rộng là \(y\left( m \right)\) với \(x > y > 4\), bác An dự định làm một vườn hoa hình chữ nhật và bớt ra một phần đường đi rộng 2 m như Hình 3. Viết phân thức biểu thị theo \(x;y\).

a) Tỉ số diện tích của mảnh đất và vườn hoa.

b) Tỉ số chu vi mảnh đất và vườn hoa.

Áp dụng phương pháp thực hiện phép nhân và phép chia đa thức để tính.

Lời giải chi tiết

Chiều dài của vườn hoa là: \(x – 2 – 2 = x – 4\) (m)

Chiều rộng của vườn hoa là: \(y – 2 – 2 = y – 4\) (m)

a) Diện tích của mảnh vườn là: \(xy\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích vườn hoa là: \(\left( {x – 4} \right)\left( {y – 4} \right) = xy – 4x – 4y + 16\left( {{m^2}} \right)\)

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của mảnh đất và vườn hoa là:

\(\frac{{xy}}{{xy – 4x – 4y + 16}}\)

b) Chu vi của mảnh đất là: \(2\left( {x + y} \right)\left( m \right)\)

Chu vi của vườn hoa là: \(2\left( {x – 4 + y – 4} \right) = 2\left( {x + y – 8} \right)\left( m \right)\)

Phân thức biểu thị tỉ số chu vi của mảnh đất và vườn hoa là: \(\frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{2\left( {x + y – 8} \right)}} = \frac{{x + y}}{{x + y – 8}}\)