Giải SBT (Cánh diều) Toán 8 Bài tập cuối chương 2

Đề bài

Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{1}{{x – 3}}\) là:
A. \(x – 3 > 0\)
B. \(x – 3 < 0\)
C. \(x – 3 \ne 0\)
D. \(x – 3 = 0\)

Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 được gọi là điều kiện xác định của phân thức.

Lời giải chi tiết

Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{1}{{x – 3}}\) là: \(x – 3 \ne 0\).

→ Đáp án C

Đề bài

Giá trị của biểu thức \(M = \frac{1}{{3 + x}} + \frac{1}{{3 – x}}\) tại \(x = 0,5\) là:
A. \(\frac{{22}}{{37}}\)
B. \(\frac{{22}}{{35}}\)
C. \(\frac{{24}}{{35}}\)
D. \(\frac{{24}}{{37}}\)

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Lời giải chi tiết

Giá trị của biểu thức \(M = \frac{1}{{3 + x}} + \frac{1}{{3 – x}}\) tại \(x = 0,5\) là:

\(\frac{1}{{3 + 0,5}} + \frac{1}{{3 – 0,5}} = \frac{{24}}{{35}}\).

→ Đáp án C.

Đề bài

Thương của phép chia phân thức \(\frac{{{y^3} – {x^3}}}{{6{x^3}y}}\) cho phân thức \(\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{2xy}}\) là:
A. \(\frac{{y – x}}{{3x}}\)
B. \(\frac{{x – y}}{{3{x^2}}}\)
C. \(\frac{{x – y}}{{3x}}\)
D. \(\frac{{y – x}}{{3{x^2}}}\)

Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\) khá 0, ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\):

\(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}.\frac{D}{C}\) với \(\frac{C}{D}\) khác 0

Lời giải chi tiết

Thực hiện phép chia ta có:

\(\frac{{{y^3} – {x^3}}}{{6{x^3}y}}:\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{2xy}} = \frac{{\left( {y – x} \right)\left( {{y^2} + xy + {x^2}} \right)}}{{2xy.3{x^2}}}.\frac{{2xy}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} = \frac{{y – x}}{{3{x^2}}}\)

→ Đáp án D.

Đề bài

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) \(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} – {y^2}}} – 1} \right).\frac{{x – y}}{{2y}}\) tại \(x = 5;y = 7\)

b) \(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} – xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} – 4{x^2}}} + \frac{{2x – y}}{{2{x^2} + xy}}\) tại \(x = – \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\)

c) \(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} – \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x – y}}} \right) – \frac{x}{y}\) tại \(x = – 15;y = 5\)

Áp dụng hằng đẳng thức và phép cộng trừ nhân chia phân thức đại số để rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức:

\(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} – {y^2}}} – 1} \right).\frac{{x – y}}{{2y}} = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2} – {x^2} + {y^2}}}{{\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}}} \right).\frac{{x – y}}{{2y}} = \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}}.\frac{{x – y}}{{2y}} = \frac{y}{{x + y}}\)

Giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x = 5;y = 7\) là: \(\frac{7}{{5 + 7}} = \frac{7}{{12}}\).

b) Rút gọn biểu thức:

\(\begin{array}{l}B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} – xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} – 4{x^2}}} + \frac{{2x – y}}{{2{x^2} + xy}}\\ = \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x – y} \right)}} – \frac{{8y}}{{{{\left( {2x} \right)}^2} – {y^2}}} + \frac{{2x – y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2x + y} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{x\left( {2x – y} \right)\left( {2x + y} \right)}} – \frac{{8xy}}{{x\left( {2x – y} \right)\left( {2x + y} \right)}} + \frac{{\left( {2x – y} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x – y} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {2x + y} \right)}^2} – 8xy + {{\left( {2x – y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x – y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\\ = \frac{{4{x^2} + 4xy + {y^2} – 8xy + 4{x^2} – 4xy + {y^2}}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x – y} \right)}}\\ = \frac{{8{x^2} – 8xy + 2{y^2}}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x – y} \right)}} = \frac{{2{{\left( {2x – y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x – y} \right)}} = \frac{{2\left( {2x – y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\end{array}\)

Giá trị của biểu thức\(B\) tại \(x = – \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\) là: \(\frac{{2\left( {2. – \frac{1}{2} – \frac{3}{2}} \right)}}{{ – \frac{1}{2}\left( {2.\frac{{ – 1}}{2} + \frac{3}{2}} \right)}} = 20\)

c) Rút gọn biểu thức:

\(\begin{array}{l}C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} – \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x – y}}} \right) – \frac{x}{y}\\ = \left( {\frac{{{x^3} – {y^3}}}{{xy}}} \right)\left( {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x – y} \right) + {x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}} \right) – \frac{x}{y}\\ = \left( {\frac{{{x^3} – {y^3}}}{{xy}}} \right)\left( {\frac{{{x^2} – {y^2} + {x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^3} – {y^3}}}} \right) – \frac{x}{y}\\ = \frac{{{x^3} – {y^3}}}{{xy}}.\frac{{2{x^2} + xy}}{{{x^3} – {y^3}}} – \frac{x}{y}\\ = \frac{{\left( {{x^3} – {y^3}} \right).x.\left( {2x + y} \right)}}{{xy.\left( {{x^3} – {y^3}} \right)}} – \frac{x}{y}\\ = \frac{{2x + y}}{y} – \frac{x}{y} = \frac{{x + y}}{y}\end{array}\)

Giá trị của biểu thức \(C\) tại \(x = – 15;y = 5\) là: \(\frac{{ – 15 + 5}}{5} = 2\)

Đề bài

Cho biểu thức: \(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} – 3} \right):\frac{{2 – 4x}}{{x + 1}} – \frac{{3x – {x^2} + 1}}{{3x}}\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(D\)

b) Tính giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = 5947\)

c) Tìm giá trị của \(x\) để \(D\) nhận giá trị nguyên.

Áp dụng hằng đẳng thức và phép cộng trừ nhân chia phân thức đại số để rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(D\) là: \(x \ne 0;x \ne – 1;x \ne \frac{1}{2}\)

b) Rút gọn biểu thức \(D\) ta có:

\(\begin{array}{l}D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} – 3} \right):\frac{{2 – 4x}}{{x + 1}} – \frac{{3x – {x^2} + 1}}{{3x}}\\ = \left( {\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2.3x – 3.3x.\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}} \right).\frac{{x + 1}}{{2 – 4x}} – \frac{{3x – {x^2} + 1}}{{3x}}\\ = \left( {\frac{{{x^2} + 3x + 2 + 6x – 9{x^2} – 9x}}{{3x\left( {2 – 4x} \right)}}} \right) – \frac{{3x – {x^2} + 1}}{{3x}}\\ = \frac{{ – 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {2 – 4x} \right)}} – \frac{{3x – {x^2} + 1}}{{3x}}\\ = \frac{{ – 2\left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{6x\left( {1 – 2x} \right)}} – \frac{{3x – {x^2} + 1}}{{3x}}\\ = \frac{{2x + 1}}{{3x}} – \frac{{3x – {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{{x^2} – x}}{{3x}} = \frac{{x – 1}}{3}\end{array}\)

Giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = 5947\) là: \(\frac{{5947 – 1}}{3} = 1982\)

c) Để \(D\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{x – 1}}{3}\) phải nhận giá trị nguyên. Suy ra \(x – 1 \vdots 3\), tức là \(x – 1 = 3k\) hay \(x = 3k + 1\) với \(k \in \mathbb{Z}\) (thỏa mãn điều kiện xác định).

Đề bài

Cho biểu thức: \(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 – \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức \(S\) tại \(x = 0,1\)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S\)

Áp dụng hằng đẳng thức và phép cộng trừ nhân chia phân thức đại số để rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(S\) là: \(x \ne 0;x \ne – 2\)

Rút gọn biểu thức ta có:

\(\begin{array}{l}S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 – \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{x + 2 – {x^2}}}{{x + 2}} – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\\ = \frac{{\left( {x + 2} \right).\left( { – {x^2} + x + 2} \right)}}{x} – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\\ = \frac{{ – {x^3} + {x^2} + 2x – 2{x^2} + 2x + 4 – {x^2} – 6x – 4}}{x}\\ = \frac{{ – {x^3} – 2{x^2} – 2x}}{x} = – {x^2} – 2x – 2\end{array}\)

Giá trị của biểu thức \(S\) tại \(x = 0,1\) là: \( – 0,{1^2} – 2.0,1 – 2 = – 2,21\)

b) Ta có: \(S = – {x^2} – 2x – 2 = – \left( {{x^2} – 2x + 1} \right) – 1 = – {\left( {x – 1} \right)^2} – 1\)

Suy ra \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \( – {\left( {x – 1} \right)^2} – 1\) đạt giá trị lớn nhất. Mà với mọi \(x\), ta có \({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0\) hay \( – {\left( {x – 1} \right)^2} – 1 \le – 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(S\) là -1 khi \(\left( {x – 1} \right) = 0\) hay \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện xác định)

Đề bài

Hai ca nô cùng xuất phát đi xuôi dòng từ bến \(A\) đến bến \(B\) dài 24 km. Ca nô thứ nhất đến bến \(B\) trước và quay trở lại thì gặp ca nô thứ hai tại vị trí \(C\) cách bến \(A\) là 8 km. Biết tốc độ của dòng nước là 4 km/h. Gọi \(x\) (km/h) là tốc độ của ca nô thứ nhất \(\left( {x > 4} \right)\). Viết phân thức biểu thị theo \(x\).

a) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến \(A\) đến bến \(B\).

b) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến \(B\) đến vị trí \(C\).

c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến \(A\) đến bến \(B\) và từ bến \(B\) đến vị trí \(C\).

Áp dụng phương pháp thực hiện phép cộng phân thức đại số để tính tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến \(A\) đến bến \(B\) và từ bến \(B\) đến vị trí \(C\).

Lời giải chi tiết

a) Vận tốc của ca nô thứ nhất đi xuôi dòng là: \(x + 4\)(km/h)

Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến \(A\) đến bến \(B\) là: \(\frac{{24}}{{x + 4}}\) (giờ)

b) Vận tốc của ca nô thứ nhất đi ngược dòng là: \(x – 4\) (km/h)

Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến \(B\) đến vị trí \(C\) là: \(\frac{{16}}{{x – 4}}\) (giờ)

c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến \(A\) đến bến \(B\) và từ bến \(B\) đến vị trí \(C\) là:

\(\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x – 4}} = \frac{{24\left( {x – 4} \right) + 16\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} – 16}} = \frac{{24x – 96 + 16x + 64}}{{{x^2} – 16}} = \frac{{40x – 32}}{{{x^2} – 16}}\)

Đề bài

Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải may 600 chiếc khẩu trang trong thời gian quy định. Do tăng năng suất lao động, mỗi giờ tổ sản xuất đó may được nhiều hơn kế hoạch 20 chiếc. Gọi \(x\) là số khẩu trang mà tổ sản xuất phải may trong mỗi giờ theo kế hoạch \(\left( {x \in \mathbb{N}*,x < 600} \right)\). Viết phân thức biểu thị theo \(x\).

a) Thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch.

b) Thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế.

c) Tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thức tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch.

Áp dụng phương pháp thực hiện phép chia phân thức đại số để tính tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thức tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch.

Lời giải chi tiết

a) Thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch là: \(\frac{{600}}{x}\) (giờ)

b) Thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế là: \(\frac{{600}}{{x + 20}}\) (giờ)

c) Tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch là:

\(\frac{{600}}{{x + 20}}:\frac{{600}}{x} = \frac{{600}}{{x + 20}}.\frac{x}{{600}} = \frac{x}{{x + 20}}\)