Giải Sách bài tập Toán 11 Bài 15 (KNTT): Giới hạn của dãy số

Giải Sách bài tập Toán 11 Bài 15 (KNTT): Giới hạn của dãy số – SÁCH GIÁO KHOA KẾT NỐI TRI THỨC 2024

================

Giải SBT Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Giải SBT Toán 11 trang 77

Bài 5.1 trang 77 SBT Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:

a)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+1}{2n^2+n+2}$;

b)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^n+3}{1+3^n}$.

Lời giải:

a)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+1}{2n^2+n+2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}=\frac{1}{2}$.

b)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^n+3}{1+3^n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+1}=0$.

Bài 5.2 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:

a)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n-2\right)$;

b)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2+n^2-\sqrt{n^4+1}\right)$;

c)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2-n+2}+n\right)$;

d)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(3n-\sqrt{4n^2+1}\right)$.

Lời giải:

a)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n-2\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+2n-{\left(n+2\right)}^2}{\sqrt{n^2+2n}+n+2}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-2n-4}{\sqrt{n^2+2n}+n+2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-2-\frac{4}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1+\frac{2}{n}}=\frac{-2}{2}=-1$.

b)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2+n^2-\sqrt{n^4+1}\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(2+n^2\right)}^2-\left(n^4+1\right)}{2+n^2+\sqrt{n^4+1}}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4n^2+3}{2+n^2+\sqrt{n^4+1}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{3}{n^2}}{\frac{2}{n^2}+1+\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}}=\frac{4}{2}=2$.

c)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2-n+2}+n\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }n\left(\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}+1\right)=+\infty$.

d)$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(3n-\sqrt{4n^2+1}\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }n\left(3-\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}\right)=+\infty$.

Giải SBT Toán 11 trang 78

Bài 5.3 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Cho$u_n=\frac{1+a+a^2+\mathrm{\dots }+a^n}{1+b+b^2+\mathrm{\dots }+b^n}$với a, b là các số thực thỏa mãn |a| < 1, |b| < 1. Tính$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, ta có:

$u_n=\frac{1+a+a^2+\mathrm{\dots }+a^n}{1+b+b^2+\mathrm{\dots }+b^n}=\frac{}{}\frac{1-a^{n+1}}{1-a}\frac{1-b^{n+1}}{1-b}=\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}$.

Do đó,$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}\right)=\frac{1-b}{1-a}$(do |a| < 1, |b| < 1).

Bài 5.4 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Tính$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+3+5+\mathrm{\dots }+\left(2n-1\right)}{n^2+2n}$.

Lời giải:

Ta có 1, 3, 5, …, 2n – 1 là một cấp số cộng gồm n số hạng và có số hạng đầu u₁= 1, công sai d = 2.

Khi đó, 1 + 3 + 5 + … +(2n – 1) =$\frac{n\left(1+2n-1\right)}{2}=n^2$.

Do đó,$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+3+5+\mathrm{\dots }+\left(2n-1\right)}{n^2+2n}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2+2n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{2}{n}}=1$.

Bài 5.5 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Tính tổng$S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^2}+\mathrm{\dots }+{\left(-1\right)}^n\frac{1}{5^{n-1}}$+ …

Lời giải:

Nhận thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn(u_n) với số hạng đầu u₁= – 1 và công bội q =$-\frac{1}{5}$.

Do đó,$S=\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{5}\right)}=\frac{-1}{}\frac{6}{5}=-\frac{5}{6}$.

Bài 5.6 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03); b) 3,(23).

Lời giải:

a) 1,(03) = 1 + 0,03 + 0,0003 + … + 0,00…03 + …

$=1+\frac{3}{100}+\frac{3}{{100}^2}+\mathrm{\dots .}+\frac{3}{{100}^n}+\mathrm{\dots .}$.

$=1+\frac{}{}\frac{3}{100}1-\frac{1}{100}=1+\frac{1}{33}=\frac{34}{33}$

b) 3,(23) = 3 + 0,23 + 0,0023 + … + 0,00…23 + …

$=3+\frac{23}{100}+\frac{23}{{100}^2}+\mathrm{\dots }+\frac{23}{{100}^n}+\mathrm{\dots .}$

$=3+\frac{}{}\frac{23}{100}1-\frac{1}{100}=3+\frac{23}{99}=\frac{320}{99}$

Bài 5.7 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) với$u_n=\frac{\cos n}{n^2}$. Tính$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

Lời giải:

Ta có$\left(u_n\right)=\left(\frac{\cos n}{n^2}\right)=\frac{\left(\cos n\right)}{n^2}\le \frac{1}{n^2}$.

Mà$\frac{1}{n^2}\to 0$khi n → +∞ nên$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$.

Bài 5.8 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Cho tam giác A₁B₁C₁có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A₂B₂C₂bằng cách nối các trung điểm của các cạnh B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác A₃B₃C₃, …, A_nB_nC_n,… Kí hiệu s_nlà diện tích của tam giác A_nB_nC_n.

a) Tính s_n.

b) Tính tổng s₁+ s₂+ … + s_n+ …

Lời giải:

a)

Theo cách xác định tam giác A₂B₂C₂, ta có s₂=$\frac{1}{4}$s₁.

Tương tự, s₃=$\frac{1}{4}$s₂, ….,$s_n=\frac{1}{4}{s}_{n-1}$.

Vậy$s_n={\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}{s}_1={\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}.3=3{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$.

b) Ta có s₁+ s₂+ … + s_n+ … là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁= 3 và công bội q =$\frac{1}{4}$. Do đó

s₁+ s₂+ … + s_n+ … =$\frac{3}{1-\frac{1}{4}}=4$.

Bài 5.9 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) với u₁= 2,$u_{n+1}=u_n+\frac{2}{3^n}$, n ≥ 1. Đặt v_n= u_{n + 1}– u_n.

a) Tính v₁+ v₂+ … + v_ntheo n.

b) Tính u_ntheo n.

c) Tính$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

Lời giải:

a) Ta có v_n= u_{n + 1}– u_n=$\left(u_n+\frac{2}{3^n}\right)-u_n=\frac{2}{3^n}$.

Do đó, v₁+ v₂+ … + v_n=$\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+\mathrm{\dots }+\frac{2}{3^n}=2\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{3^n}\right)$

$=2.\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}=3\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$.

b) Ta có v₁+ v₂+ … + v_n=(u₂– u₁) + (u₃– u₂) + … + (u_{n + 1}– u_n)

= u_{n +1}– u₁=$\left(u_n+\frac{2}{3^n}\right)-2=u_n+\frac{2}{3^n}-2$.

Mà theo câu a có v₁+ v₂+ … + v_n=$3\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$.

Do đó,$u_n+\frac{2}{3^n}-2=3\left(1-\frac{1}{3^{n+1}}\right)$. Từ đó suy ra$u_n=5-\frac{1}{3^{n-1}}$.

c) Ta có

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(5-\frac{1}{3^{n-1}}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(5-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\right)=5$.

Bài 5.10 trang 78 SBT Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) có tính chất$\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)\le \frac{1}{n^2}$. Tính$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$

Lời giải:

Ta có$\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)\le \frac{1}{n^2}$, mà$\frac{1}{n^2}\to 0$khi n → +∞ nên$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)=0$.

Mặt khác,

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n-\frac{n}{n+1}\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n-\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n-1$.

Vậy$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$= 1.

=============
THUỘC: Giải SÁCH bài tập Toán 11 – KNTT