Giải Sách bài tập Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài tập ôn tập cuối năm

Giải Sách bài tập Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài tập ôn tập cuối năm – SÁCH GIÁO KHOA KẾT NỐI TRI THỨC 2024

================

Giải SBT Toán lớp 11 Bài tập ôn tập cuối năm

A – Trắc nghiệm

Giải SBT Toán 11 trang 66

Bài 1 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. sinx – cosx = $\sqrt{2}$sin$\left(x–\frac{\pi }{4}\right)$.

B. sinx + cosx = $\sqrt{2}$sin$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

C. sinx + cosx = $\sqrt{2}$cos$\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

D. cosx – sinx = $\sqrt{2}$cos$\left(x–\frac{\pi }{4}\right)$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

sinx + cosx = $\sqrt{2}$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos x\right)$ = $\sqrt{2}$$\left(\cos x\cdot cos\frac{\pi }{4}+\sin x\cdot \sin \frac{\pi }{4}\right)$

= $\sqrt{2}$cos$\left(x–\frac{\pi }{4}\right)$. Vậy khẳng định C sai.

Bài 2 trang 66 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số y = cos$\frac{2x}{3}$ là hàm số tuần hoàn với chu kì

A. 2π.

B. π.

C. $\frac{3\pi }{2}$.

D. 3π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = cos$\frac{2x}{3}$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{}\frac{2}{3}=3\pi$ .

Giải SBT Toán 11 trang 67

Bài 3 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Nghiệm lớn nhất của phương trình lượng giác cos$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ = sinx trong đoạn là

A. $-\frac{\pi }{6}$ .

B. $\frac{5\pi }{6}$ .

C. $\frac{5\pi }{18}$ .

D. $\frac{17\pi }{18}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $cos\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \text{x}$$\iff cos\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=cos\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

Có nên

.

Với k = −1 thì $x=-\frac{7\pi }{18}$ ;

Với k = 0 thì $x=\frac{5\pi }{18}$ ;

Với k = 1 thì $x=\frac{17\pi }{18}$ ;

Với m = 0 thì $x=-\frac{\pi }{6}$ .

Vậy $x=\frac{17\pi }{18}$ là nghiệm lớn nhất cần tìm.

Bài 4 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1; u₁₀ = −17. Số hạng thứ 100 của cấp số cộng này là

A. −197.

B. −199.

C. −170.

D. 289.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Vì u₁₀ = u₁ + 9d nên −17 = 1 + 9d $\iff$ d = −2.

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là u₁₀₀ = u₁ + 99d = 1 + 99.(−2) = −197.

Bài 5 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Cho cấp số nhân có số hạng thứ năm bằng 48 và số hạng thứ mười hai bằng −6 144. Số hạng thứ mười của cấp số nhân này bằng

A. 1 536.

B. −1 536.

C. 3 072.

D. −3 072.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Có u₅ = u₁.q⁴ = 48; u₁₂ = u₁.q¹¹ = −6 144.

Do đó $\frac{u_5}{u_{12}}=\frac{q^4}{q^{11}}=\frac{48}{-6144}$$\Rightarrow \frac{1}{q^7}=-\frac{1}{128}$$\Rightarrow q^7$ = -128 $\Rightarrow$q = -2 .

Mà u₅ = u₁×q⁴ = 48 nên $u_1=\frac{48}{{\left(-2\right)}^4}=3$.

Khi đó số hạng thứ mười của cấp số nhân là u₁₀ = u₁.q⁹ = 3.(−2)⁹ = −1 536.

Bài 6 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Số thập phân vô hạn tuần hoàn x = 1,(2) = 1,2222… viết được dưới dạng phân số tối giản là

A. $1\frac{2}{9}$ .

B. $\frac{11}{9}$ .

C. $\frac{10}{9}$ .

D. $\frac{22}{18}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có x = 1,2222… = $1+\frac{2}{10}+\frac{2}{100}+\frac{2}{1000}+\mathrm{\dots }$

Ta thấy $\frac{2}{10}+\frac{2}{100}+\frac{2}{1000}+\mathrm{\dots }$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{2}{10};q=\frac{1}{10}$ .

Do đó $\frac{2}{10}+\frac{2}{100}+\frac{2}{1000}+\mathrm{\dots }=\frac{}{}\frac{2}{10}1-\frac{1}{10}=\frac{2}{9}$ .

Vậy x = 1,2222…$=1+\frac{2}{10}+\frac{2}{100}+\frac{2}{1000}+\mathrm{\dots }=1+\frac{2}{9}=\frac{11}{9}$.

Bài 7 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề sai là

A. $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$ .

B. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$ .

C. $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^2}=-\infty$ .

D. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=+\infty$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$ nên đáp án C sai.

Bài 8 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Giá trị của m để hàm số liên tục trên ℝ là

A. 3.

B. 1.

C. −3.

D. −1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

+) Khi x > −1 thì $f\left(x\right)=\frac{x^2+3x+2}{x+1}$ liên tục.

+) Khi x < −1 thì f(x) = −2x + m liên tục.

Do đó hàm số liên tục trên ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = −1.

Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = −1. Ta có:

f(– 1) = 2 + m;

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\left(-2x+m\right)=2+m$;

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+3x+2}{x+1}$$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{x+1}$$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\left(x+2\right)=1$.

Để hàm số liên tục tại x = −1 khi và chỉ khi 2 + m = 1 $\iff$ m = −1.

Vậy m = −1 là giá trị cần tìm.

Bài 9 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Hàm số đồng biến trên toàn bộ tập số thực ℝ là

A. y = 2^−x.

B. $y={\left(\frac{\pi }{e}\right)}^x$ .

C. y = lnx.

D. y = logx.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

+) Hàm số y = 2^−x = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ có 0<$\frac{1}{2}$<1 nên hàm số y = 2^−x nghịch biến trên ℝ.

+) Hàm số $y={\left(\frac{\pi }{e}\right)}^x$ có $\frac{\pi }{e}>1$ nên hàm số $y={\left(\frac{\pi }{e}\right)}^x$ đồng biến trên ℝ.

+) Hàm số y = lnx đồng biến trên (0; +$\infty$).

+) Hàm số y = logx đồng biến trên (0; +$\infty$).

Bài 10 trang 67 SBT Toán 11 Tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x^2-x+1}\le {\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ là

A. .

B. .

C. $\left(\frac{1}{2};1\right)$ .

D. $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)\cup \left(1;+\infty \right)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x^2-x+1}\le {\left(\frac{1}{4}\right)}^x$$\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x^2-x+1}\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x}$

$\iff$ 2x² – x + 1 $\ge$ 2x $\iff$ 2x² – 3x + 1$\ge$0

$\iff$ (2x – 1)(x – 1) $\ge$ 0 $\iff$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .

Giải SBT Toán 11 trang 68

Bài 11 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Đạo hàm của hàm số $y={\sin }^{2}2x+e^{x^2-1}$ là

A. $y^{‘}=\sin 4x+2x{e}^{x^2-1}$ .

B. y’ = 2sin2x + 2x$e^{x^2-1}$.

C. y’ = 2sin4x + 2x$e^{x^2-1}$ .

D. y’ = 4sin2xcos2x + $e^{x^2-1}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $y^{‘}={\left({\sin }^{2}2x+e^{x^2-1}\right)}^{‘}$$={\left({\sin }^{2}2x\right)}^{‘}+{\left(e^{x^2-1}\right)}^{‘}$

= 2sin2x(sin2x)’ + $e^{x^2-1}$(x² – 1)’

= 4sin2xcos2x + 2x$e^{x^2-1}$ = 2sin4x + 2$e^{x^2-1}$.

Vậy y’ = 2sin4x + 2x$e^{x^2-1}$.

Bài 12 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³ – 3t² (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Trong các khẳng định sau, khẳng định đúng là

A. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 giây là a = 0 m/s².

B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 giây là v = −4 m/s.

C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 giây là a = 12 m/s².

D. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 giây là v = 0 m/s.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = 3t² – 6t.

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t là a(t) = v'(t) = 6t – 6.

Khi đó vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 giây là v(2) = 3.2² – 6.2 = 0 m/s.

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 giây là a(2) = 6.2 – 6 = 6 m/s².

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = 3.3² – 6.3 = 9 m/s.

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 6.3 – 6 = 12 m/s².

Bài 13 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau về thời gian sử dụng mạng xã hội của một nhóm học sinh trong ngày.

Thời gian (giờ) sử dụng mạng xã hội trung bình trong ngày của nhóm học sinh là

A. 1,0.

B. 1,25.

C. 1,35.

D. 1,5.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có cỡ mẫu n = 2 + 5 + 8 + 6 + 4 = 25.

Nhóm [0; 0,5) có giá trị đại diện là $x_1=\frac{0+0,5}{2}=0,25$;

Nhóm [0,5; 1) có giá trị đại diện là $x_2=\frac{0,5+1}{2}=0,75$;

Nhóm [1; 1,5) có giá trị đại diện là $x_3=\frac{1+1,5}{2}=1,25$;

Nhóm [1,5; 2) có giá trị đại diện là $x_4=\frac{1,5+2}{2}=1,75$;

Nhóm [2; 2,5) có giá trị đại diện là $x_4=\frac{2+2,5}{2}=2,25$.

Thời gian sử dụng mạng xã hội trung bình trong ngày của nhóm học sinh là

$\overline{X}=\frac{2\cdot 0,25+5\cdot 0,75+8\cdot 1,25+6\cdot 1,75+4\cdot 2,25}{25}=1,35$ (giờ).

Vậy thời gian sử dụng mạng xã hội trung bình trong ngày của nhóm học sinh là 1,35 giờ.

Bài 14 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau về thời gian sử dụng mạng xã hội của một nhóm học sinh trong ngày.

Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm

A. [0,5; 1).

B. [1; 1,5).

C. [1,5; 2).

D. [2; 2,5).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Có cỡ mẫu n = 2 + 5 + 8 + 6 + 4 = 25.

Giả sử x₁; x₂; …; x₂₅ là mẫu số liệu đã được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ ba $Q_3=\frac{x_{19}+x_{20}}{2}$.

Do x₁₉; x₂₀ đều thuộc nhóm [1,5; 2) nên nhóm [1,5; 2) chứa Q₃.

Bài 15 trang 68 SBT Toán 11 Tập 2: Trong tỉnh X, tỉ lệ học sinh học giỏi môn Ngữ văn là 9

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra AM là trung tuyến.

Do ABC là tam giác đều có AM là trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao hay AM $\perp$ BC.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AM.

Do AM $\perp$ BC và SA $\perp$ AM nên d(SA, BC) = AM.

Vì ABC là tam giác đều có AM là đường cao nên AM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy d(SA, BC) = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

B – Tự luận

Giải SBT Toán 11 trang 70

Bài 25 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Cho sinx = –$\frac{1}{3}$, x$\in$$\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ . Tính giá trị cos$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$.

Lời giải:

Có sin²x + cos²x = 1 nên ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+co{s}^{2}x=1$$\iff co{s}^{2}x=\frac{8}{9}$$\iff cosx=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$ .

Mà $x\in \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ nên cosx < 0. Do đó cosx = –$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Lại có cos$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ = cos2xcos$\frac{\pi }{3}$+sin2xsin$\frac{\pi }{3}$

= $\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x

= $\frac{1}{2}$(1-2sin²x) + $\sqrt{3}$sinxcosx

$=\frac{1}{2}\left(1-2{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2\right)+\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{7+4\sqrt{6}}{18}$.

Vậy $cos\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{7+4\sqrt{6}}{18}$.

Bài 26 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Chứng minh rằng:

a) sin3x = 4sinx sin(60° − x) sin(60° + x);

b) $\frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x}=\tan 2x$.

Lời giải:

a) Có sin(60° − x) sin(60° + x) = –$\frac{1}{2}$(cos120^o – cos(-2x))

= –$\frac{1}{2}$$\left(-\frac{1}{2}-cos2x\right)$ = $=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$cos2x.

Do đó 4sinx sin(60° − x) sin(60° + x) = 4sinx$\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos2x\right)$ = sinx + 2sinxcos2x

= sinx + sin3x + sin(−x) = sinx + sin3x – sinx = sin3x.

Vậy sin3x = 4sinx sin(60° − x) sin(60° + x).

b) Vế phải = $\frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x}$$=\frac{\left(\sin x+\sin 3x\right)-\sin 2x}{\left(\cos x+\cos 3x\right)-\cos 2x}$

$=\frac{2\sin 2x\cos x-\sin 2x}{2\cos 2x\cos x-\cos 2x}$$=\frac{\sin 2x\left(2\cos x-1\right)}{\cos 2x\left(2\cos x-1\right)}$= tan2x = vế trái.

Vậy $\frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x}$= tan2x.

Bài 27 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Xét xem các dãy số với công thức tổng quát sau có phải là cấp số cộng/cấp số nhân hay không. Tìm số hạng đầu tiên và công sai/công bội nếu có.

a) u_n = 5n – 7; b) u_n = 9.2ⁿ; c) u_n = n² – n + 1.

Lời giải:

a) + Có u_{n + 1} = 5(n + 1) – 7 = 5n – 2.

Xét u_{n + 1} – u_n = 5n – 2 – (5n – 7) = 5 với mọi n.

Do đó (u_n) là cấp số cộng với u₁ = −2 và d = 5.

+ Có u₁ = −2; u₂ = 3; u₃ = 8.

Vì $\frac{u_2}{u_1}=-\frac{3}{2}\ne \frac{8}{3}=\frac{u_3}{u_2}$ nên (u_n) không là cấp số nhân.

b) + Có u_{n + 1} = 9.2^{n + 1} = 18.2ⁿ.

Vì $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{18\cdot 2^n}{9\cdot 2^n}=2$ với mọi n nên (u_n) là cấp số nhân.

+ Có u₁ = 18; u₂ = 36; u₃ = 72.

Vì u₂ – u₁ = 36 – 18 = 18 ≠ u₃ – u₂ = 72 – 36 = 36 nên (u_n) không là cấp số cộng.

c) Có u₁ = 1; u₂ = 3; u₃ = 7.

Vì u₂ – u₁ = 3 – 1 ≠ u₃ – u₂ = 7 – 3 nên (u_n) không là cấp số cộng.

Vì $\frac{u_2}{u_1}=\frac{3}{1}\ne \frac{7}{3}=\frac{u_3}{u_2}$ nên (u_n) không là cấp số nhân.

Bài 28 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Một công ty kĩ thuật đưa ra hai phương án về lương cho kĩ sư làm việc tại công ty như sau:

Phương án 1: Mức lương của quý làm việc đầu tiên là 64,5 triệu đồng/quý và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 10 triệu đồng mỗi quý.

Phương án 2: Mức lương của quý làm việc đầu tiên là 24 triệu đồng/quý và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 1,2 lần mỗi quý.

Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 5 năm làm việc cho công ty này theo mỗi phương án trên. Kĩ sư nên chọn phương án nhận lương nào?

Lời giải:

Ta có 5 năm là 20 quý.

Phương án 1: Ta thấy (u_n) là cấp số cộng với u₁ = 64,5 và d = 10.

Tổng số tiền lương kĩ sư nhận được sau 5 năm là:

$S_{20}=\frac{\left(u_1+u_{20}\right)20}{2}$$=\frac{\left(u_1+u_1+19d\right)20}{2}$$=\frac{\left(64,5\cdot 2+19\cdot 10\right)20}{2}$ = 3 190 (triệu đồng).

Phương án 2: Ta thấy (u_n) là cấp số nhân với u₁ = 24 và q = 1,2.

Tổng số tiền lương kĩ sư nhận được sau 5 năm là:

$S_{20}=\frac{u_1\left(1-q^{20}\right)}{1-q}$$=\frac{24\left(1-1,2^{20}\right)}{1-1,2}\approx$4 480,5 (triệu đồng).

Vậy kĩ sư nên chọn phương án nhận lương thứ 2.

Bài 29 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Giả sử u_n là số hạng thứ n của dãy số (u_n) và $u_n=\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^n-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^n}{2^n\sqrt{5}}$.

a) Chứng tỏ rằng u₁ = 1, u₂ = 1 và u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n với mọi n $\in$ ℕ^*. Từ đó suy ra (u_n) là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ đầu tiên.

Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}$.

Lời giải:

a) Ta có a^{n + 2} – b^{n + 2} = a^{n + 1}.a − b^{n + 1}.b

= a^{n + 1}.a + a^{n + 1}.b − b^{n + 1}.b − b^{n + 1}.a − a^{n + 1}.b + b^{n + 1}.a

= a^{n + 1}.(a + b) − b^{n + 1}.(a + b) – ab(aⁿ − bⁿ)

= (a^{n + 1} − b^{n + 1}).(a + b) – ab(aⁿ − bⁿ) (*)

Có $u_1=\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^1-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^1}{2^1\sqrt{5}}$$=\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=1$.

$u_2=\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^2-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^2}{2^2\sqrt{5}}$$=\frac{4\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=1$.

Áp dụng (*), ta có:

$u_{n+2}=\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^{n+2}-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^{n+2}}{2^{n+2}\sqrt{5}}$

$=\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^{n+1}-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^{n+1}}{2^{n+1}\sqrt{5}}+\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^n-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^n}{2^n\sqrt{5}}$ = u_n+1 + u_n.

Vậy u_{n + 2} = u_n+1 + u_n. Do đó (u_n) là dãy Fibonacci.

b) Ta có bảng sau

Ta có $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{}{}\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^{n+1}-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^{n+1}}{2^{n+1}\sqrt{5}}\frac{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^n-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^n}{2^n\sqrt{5}}$

Bài 30 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2-x-10}{x+2}$; b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+x+1}-x}{2x+1}$;

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{x-2}-\frac{2}{{\left(x-2\right)}^2}\right)$; d) $\underset{x\to -5^{-}}{\lim }\frac{2x}{x+5}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{2x^2-x-10}{x+2}$$=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\left(2x-5\right)\left(x+2\right)}{x+2}$$=\underset{x\to -2}{\lim }$(2x-5) = -9.

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+x+1}-x}{2x+1}$=

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-x}{2x+1}$$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{4+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-1}{2+\frac{1}{x}}$$=-\frac{3}{2}$.

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{x-2}-\frac{2}{{\left(x-2\right)}^2}\right)$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2-2}{{\left(x-2\right)}^2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-4}{{\left(x-2\right)}^2}=-\infty$.

(do $\underset{x\to 2}{\lim }$(x-4) = -2 < 0 và $\underset{x\to 2}{\lim }$(x-2)² = 0, (x-2)²>0, $\forall x\ne$2).

d) $\underset{x\to -5^{-}}{\lim }\frac{2x}{x+5}=+\infty$ (do $\underset{x\to -5^{-}}{\lim }$(2x) = -10 < 0 và $\underset{x\to -5^{-}}{\lim }$(x+5) = 0, x + 5 < 0, ∀x < −5).

Giải SBT Toán 11 trang 71

Bài 31 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm m để hàm số sau liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ:

f(x) =

Lời giải:

+) Với x > −1 thì f(x) = $\frac{\sqrt{x+5}-2}{x+1}$ liên tục.

+) Với x < −1 thì f(x) = m.4^−x + 1 liên tục.

Để hàm số liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = −1.

Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = −1. Ta có:

f(– 1) = 4m + 1;

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+5}-2}{x+1}$$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{x+5-4}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+5}+2\right)}$;

$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+5}+2\right)}$$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+5}+2}=\frac{1}{4}$.

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\left(m\cdot 4^{-x}+1\right)=4m+1$

Suy ra hàm số liên tục trên ℝ khi và chỉ khi 4m+1 = $\frac{1}{4}$$\iff$m = –$\frac{3}{16}$.

Vậy m = –$\frac{3}{16}$ là giá trị cần tìm.

Bài 32 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $3^{x^2-3x}=4^{4x}$;

b) log₃(x² – x – 3) = log₃(2x – 1) + 1.

Lời giải:

a) $3^{x^2-3x}=4^{4x}$$\iff$ x² – 3x = log₃4^4x $\iff$ x² – 3x = 4xlog₃4 $\iff$ x² – 3x − 4xlog₃4 = 0

$\iff$ x(x – 3 − 4log₃4) = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = 3 + 4log₃4.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0; 3 + 4log₃4}.

b) Điều kiện .

Ta có log₃(x² – x – 3) = log₃(2x – 1) + 1

$\iff$ log₃(x² – x – 3) = log₃(2x – 1) + log₃3

$\iff$ log₃(x² – x – 3) = log₃[3(2x – 1)]

$\iff$ log₃(x² – x – 3) = log₃(6x – 3)

$\iff$ x² – x – 3 = 6x – 3 $\iff$ x² – 7x = 0

$\iff$ x(x – 7) = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = 7.

Đối chiếu với điều kiện thì x = 7 thỏa mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 7.

Bài 33 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Cho các hàm số f(x) = 3^{2x −1} và g(x) = xln9. Giải bất phương trình f'(x) < g'(x).

Lời giải:

Có f'(x) = (3^{2x −1})’ = (3^{2x −1}).ln3.(2x – 1)’ = 2.ln3.3^{2x −1}.

g'(x) = (xln9)’ = ln9.

Để f'(x) < g'(x) thì 2.ln3.3^{2x −1} < ln9 $\iff$ 2.ln3.3^{2x −1} < ln3² $\iff$ 2.ln3.3^{2x −1} < 2.ln3

$\iff$ 3^{2x −1} < 1 $\iff$ 2x – 1 < 0 $\iff$ x < $\frac{1}{2}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là: x < $\frac{1}{2}$.

Bài 34 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=co{s}^{2}x+\sqrt{3x^2+x+1}$;

b) $y={\log }_5^{2}x+e^{2-7x}$.

Lời giải:

a) $y^{‘}={\left(co{s}^{2}x+\sqrt{3x^2+x+1}\right)}^{‘}$$={\left(co{s}^{2}x\right)}^{‘}+{\left(\sqrt{3x^2+x+1}\right)}^{‘}$

$=2\cos x{\left(cosx\right)}^{‘}+\frac{{\left(3x^2+x+1\right)}^{‘}}{2\sqrt{3x^2+x+1}}$$=-2s\text{inx}\cos x+\frac{6x+1}{2\sqrt{3x^2+x+1}}$

$=-s\text{in2x}+\frac{6x+1}{2\sqrt{3x^2+x+1}}$.

Vậy $y^{‘}=-s\text{in2x}+\frac{6x+1}{2\sqrt{3x^2+x+1}}$.

b) $y^{‘}={\left({\log }_5^{2}x+e^{2-7x}\right)}^{‘}$$={\left({\log }_5^{2}x\right)}^{‘}+{\left(e^{2-7x}\right)}^{‘}$

$=2{\log }_{5}x{\left({\log }_{5}x\right)}^{‘}+e^{2-7x}{\left(2-7x\right)}^{‘}$

$=2{\log }_{5}x\cdot \frac{1}{x\ln 5}-7e^{2-7x}$$=\frac{2{\log }_{5}x}{x\ln 5}-7e^{2-7x}$

Vậy $y^{‘}=\frac{2{\log }_{5}x}{x\ln 5}-7e^{2-7x}$.

Bài 35 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x³ – 3x² – 11x + 13 tại điểm M có hệ số góc là 1. Tìm tọa độ điểm M.

Lời giải:

Giả sử hoành độ của điểm M là x₀.

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x³ – 3x² – 11x + 13 tại điểm M có hệ số góc là 1 nên y'(x₀) = $6x_0^2-6x_0-11=1$$\iff 6x_0^2-6x_0-12=0$$\iff x_0=2$ hoặc $x_0=-1$.

Với x₀ = 2 thì y₀ = −5; với x₀ = −1 thì y₀ = 19.

Vậy M(2; −5) hoặc M(−1; 19) là điểm cần tìm.

Bài 36 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Cho phương trình dao động x(t) = 10cos$\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)$, ở đây li độ x tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây.

a) Tìm thời điểm đầu tiên để vật có li độ lớn nhất.

b) Tìm thời điểm đầu tiên để vật có vận tốc bằng 0.

c) Tìm thời điểm đầu tiên để vật có gia tốc bằng 0.

Lời giải:

a) Vì $-1\le cos\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ với mọi t.

Do đó, vật có li độ lớn nhất khi $10cos\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)=10$$\iff cos\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)=1$

$\iff \frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}=k2\pi$$\iff \frac{2\pi }{5}t=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$$\iff t=-\frac{5}{6}+5k,k\in \mathbb{Z}$.

Do t $\ge$ 0 nên thời điểm đầu tiên vật có li độ lớn nhất tương ứng với k = 1, tức là tại thời điểm $t=-\frac{5}{6}+5=\frac{25}{6}$ (giây).

Vậy thời điểm đầu tiên vật có li độ lớn nhất là $\frac{25}{6}$ giây.

b) Ta có v(t) = x'(t) = $=-10\sin \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right){\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)}^{‘}$

$=-4\pi \sin \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)$.

Vận tốc bằng 0 tức là $-4\pi \sin \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)=0$$\iff \frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}=k\pi$

$\iff \frac{2\pi }{5}t=-\frac{\pi }{3}+k\pi$

$\iff t=-\frac{5}{6}+\frac{5}{2}k,k\in \mathbb{Z}$.

Do t $\ge$ 0 nên thời điểm đầu tiên vật có vận tốc bằng 0 tương ứng với k = 1, tức là tại thời điểm $t=-\frac{5}{6}+\frac{5}{2}=\frac{5}{3}$ (giây).

Vậy thời điểm đầu tiên để vật có vận tốc bằng 0 là $\frac{5}{3}$ giây.

c) Ta có a(t) = v'(t) =

$=-4\pi \cos \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right){\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)}^{‘}$

$=-\frac{8}{5}{\pi }^2\cos \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)$.

Gia tốc bằng 0 tức là $-\frac{8}{5}{\pi }^2\cos \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)=0$$\iff \frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff \frac{2\pi }{5}t=\frac{\pi }{6}+k\pi$$\iff t=\frac{5}{12}+\frac{5}{2}k,k\in \mathbb{Z}$.

Do t $\ge$ 0 nên thời điểm đầu tiên vật có gia tốc bằng 0 tương ứng với k = 0, tức là tại thời điểm $t=\frac{5}{12}$ (giây).

Vậy thời điểm đầu tiên để vật có gia tốc bằng 0 là $\frac{5}{12}$ giây.

Bài 37 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Một công ty bất động sản đã thống kê số lượng khách hàng theo giá đất họ đầu tư và thu được kết quả như sau:

a) Ước lượng mức giá có nhiều khách hàng lựa chọn nhất.

b) Công ty muốn hướng đến 25 THUỘC: Giải SÁCH bài tập Toán 11 – KNTT