Giải bài tập Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán (Kết nối)

Giải bài tập Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán (Kết nối)

---

Giải bài 5.11 trang 88 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.

(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.

(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.

(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.

(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.

Phương pháp giải

Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ phân tán nhỏ nên độ lệch chuẩn càng nhỏ. Do đó (1) sai.

Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất , bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại. Do đó (2) đúng.

Khoảng tứ phân vị là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất. Do đó (3) sai.

Về bản chất, khoảng tứ phân vị là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp. Do đó (4) sai.

Các số đo độ phân tán gồm:

Khoảng biến thiên là hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên không âm.

Khoảng tứ phân vị là hiệu của tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất mà dãy số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm nên không âm.

Phương sai và độ lệch chuẩn đều không âm.

Do đó (5) đúng.

Hướng dẫn giải

Khẳng định (1):  Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình càng nhỏ (tức là \({x_i} – \overline x \) càng nhỏ, với \(i = 1;2;…;n\)), dẫn đến độ lệch chuẩn càng nhỏ.

\(\Rightarrow\)(1) Sai

Khẳng định (2):  Khoảng biến thiên R bằng hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất

\(\Rightarrow\) (2) Đúng.

Khẳng định (3):  Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}\), các giá trị \({Q_1},{Q_3}\) không bị ảnh hưởng bởi giá trị của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (với n>4)

\(\Rightarrow\) Sai

Khẳng định (4):  Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp

\(\Rightarrow\) Sai.

Khẳng định (5):  Các số đo độ phân tán là

Khoảng biến thiên R=Số lớn nhất – Số nhỏ nhất > 0

Trước khi tính khoảng tứ phân vị thì mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm

\(\Rightarrow\) \({Q_3} > {Q_1}\) => \({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} > 0\)

Phương sai \({s^2} = \frac{{{{\left( {{x_1} – \overline x} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} – \overline x} \right)}^2} + … + {{\left( {{x_n} – \overline x} \right)}^2}}}{n} > 0\)

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {{s^2}}  > 0\)

\(\Rightarrow\) Các số đo độ phân tán đều không âm

\(\Rightarrow\) (5) Đúng.

Giải bài 5.12 trang 88 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:

Không tính toán, hãy cho biết:

a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?

b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

Phương pháp giải

a) Hai mẫu số liệu có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất như nhau thì sẽ có khoảng biến thiên bằng nhau.

Tổng của hai số đối xứng nhau qua điểm 6 thì luôn bằng 12, chẳng hạn 3+9=4+8=5+7

b) Quan sát biểu đồ và nhận xét sự phân tán của các giá trị, mẫu có số liệu đồng đều thì phương sai càng nhỏ và ngược lại.

Hướng dẫn giải

a) Cả 2 mẫu đều có n=15.

Ta có cả 2 mẫu đều có giá trị nhỏ nhất là 3, giá trị lớn nhất là 9

Do đó cả 2 mẫu cùng khoảng biến thiên.

Cả 2 biểu đồ này có dạng đối xứng nên giá trị trung bình của hai mẫu A và B bằng nhau.

b) Từ biểu đồ ta thấy, mẫu A có các số liệu đồng đều và ổn định hơn mẫu B nên phương sai của mẫu A nhỏ hơn mẫu B.

Giải bài 5.13 trang 88 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:

a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.

b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.

Phương pháp giải

Khoảng biến thiên R=Số lớn nhất-Số nhỏ nhất

Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}\)

Phương sai: \({s^2} = \frac{{{{\left( {{x_1} – \overline x} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} – \overline x} \right)}^2} + … + {{\left( {{x_n} – \overline x} \right)}^2}}}{n}\)

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {{s^2}} \)

Hướng dẫn giải

n=10

Giả sử sau khi sắp xếp 10 số dương theo thứ tự không giảm thì được:

=> Trung vị là giá trị trung bình của số thứ 5 và thứ 6.

=> \({Q_1}\) là số thứ 3 và \({Q_3}\) là số thứ 8.

a) Khi nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì:

+ Số lớn nhất tăng 2 lần và số nhỏ nhất tăng 2 lần

=> R tăng 2 lần

+ \({Q_1}\) và \({Q_3}\) tăng 2 lần

=> Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}\) tăng 2 lần.

+ Giá trị trung bình tăng 2 lần

=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình \(\left| {{x_i} – \overline x} \right|\) cũng tăng 2 lần

=> \({\left( {{x_i} – \overline x} \right)^2}\) tăng 4 lần

=> Phương sai tăng 4 lần

=> Độ lệch chuẩn tăng 2 lần.

Vậy R tăng 2 lần, khoảng tứ phân vị tăng 2 lần và độ lệch chuẩn tăng 2 lần.

b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì

+  Số lớn nhất tăng 2 đơn vị và số nhỏ nhất tăng 2 đơn vị

=> R không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

+ \({Q_1}\) và \({Q_3}\) tăng 2 đơn vị

=> Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}\) không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

+ Giá trị trung bình tăng 2 đơn vị

=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình \(\left| {{x_i} – \overline x} \right|\) không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

=> \({\left( {{x_i} – \overline x} \right)^2}\) không đổi

=> Phương sai không đổi.

=> Độ lệch chuẩn không đổi.

Vậy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều không đổi.

Giải bài 5.14 trang 88 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 11 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:

Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5;\({Q_1} = 36\), \({Q_2} = 60\),\({Q_3} = 100\); giá trị lớn nhất bằng 205.

a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?

b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.

c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Phương pháp giải

a) Các điểm \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành 4 phần, mỗi phần chứa 25%.

 

b) Lấy các giá trị sao cho tổng các khoảng là 50%

c) Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}\)

Hướng dẫn giải

a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn \({Q_1}\)

=> Có 75%

b) Ta thấy từ giá trị nhỏ nhất đến \({Q_2}\) có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này

=> Ta chọn giá trị thứ nhất là 2,5 và 36.

c) Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 100 – 36 = 64\)

Giải bài 5.15 trang 88 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):

2,977 3,155 3,920 3,412 4,236

2,593 3,270 3,813 4,042 3,387

Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

Phương pháp giải

Sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên R=Số lớn nhất-Số nhỏ nhất

Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}\)

Phương sai: \({s^2} = \frac{{{{\left( {{x_1} – \overline x} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} – \overline x} \right)}^2} + … + {{\left( {{x_n} – \overline x} \right)}^2}}}{n}\)

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {{s^2}} \)

Hướng dẫn giải

Sắp xếp theo thứ tự không giảm.

2,593  2,977  3,155  3,270  3,387  3,412  3,813  3,920  4,042  4,236 

Khoảng biến thiên \(R = 4,236 – 2,593 = 1,643\)

Vì n=10 nên ta có:

\({Q_1} = 3,155\); \({Q_3} = 3,920\)

Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 3,920 – 3,155\)\( = 0,765\)

\(\overline x \approx 3,481\)

Ta có:

Giá trị	Độ lệch	Bình phương độ lệch
2,593	0,888	0,789
2,977	0,504	0,254
3,155	0,326	0,106
3,270	0,211	0,045
3,387	0,094	0,009
3,412	0,069	0,005
3,813	0,332	0,110
3,920	0,439	0,193
4,042	0,561	0,315
4,236	0,755	0,570
Tổng		2,396

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {0,2396}  \approx 0,489\)Phương sai là: \({s_2} = \frac{{2,396}}{{10}} = 0,2396\)

Giải bài 5.16 trang 88 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1

Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:

7,8  3,2  7,7  8,7  8,6  8,4  7,2  3,6

5,0  4,4  6,7  7,0  4,5  6,0  5,4

Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Phương pháp giải

– Sắp xếp theo thứ tự không giảm.

– Tính \({Q_1},{Q_3},{\Delta _Q},{Q_1} – 1,5{\Delta _Q},{Q_3} + 1,5{\Delta _Q}\)

\({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1}\)

– Các giá trị lớn hơn \({Q_3} + 1,5.{\Delta _Q}\) hoặc bé hơn \({Q_1} – 1,5{\Delta _Q}\) được xem là  giá trị bất thường.

Hướng dẫn giải

Sắp xếp theo thứ tự không giảm.:

3,2  3,6  4,4  4,5  5,0  5,4  6,0  6,7  7,0  7,2  7,7  7,8  8,4  8,6  8,7

Vì n=15 nên \({Q_2} = 6,7\)

\({Q_1} = 4,5;{Q_3} = 7,8\)

\({\Delta _Q} = {Q_3} – {Q_1} = 7,8 – 4,5 = 3,3\)

\({Q_3} + 1,5.{\Delta _Q} = 12,75\)

\({Q_1} – 1,5{\Delta _Q} =  – 0,45\)

Ta thấy không có giá trị nào dưới -0,45 và trên 12,75 nên không có giá trị bất thường.