Giải bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 – KN

Giải bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 – KN – KẾT NỐI TRI THỨC
CỦA BÀI HỌC: Bài 9. Tích của một vectơ với một số – SBT Toán 10 KNTT

=======

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H,\) trọng tâm \(G\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O.\)

a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {OM} .\)

b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} .\)

c) Chứng minh rằng ba điểm \(G,\,\,H,\,\,O\) cùng thuộc một đường thẳng.

Phương pháp giải

– Chứng minh tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành

–  Chứng minh \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta AA’H\)

–  Chứng minh \(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 2\overrightarrow {OM} \) từ đó rút ra kết luận \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} .\)

–  Chứng minh \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} .\)

–  Chứng minh \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương

Lời giải chi tiết

a)      Xét \((O)\) có: \(\widehat {ABA’} = \widehat {ACA’} = {90^ \circ }\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow A’C \bot AC\) và \(A’B \bot AB\)       (1)

Ta có: \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)

\( \Rightarrow BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\)                  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(BH\)//\(A’C\) và \(A’B\)//\(CH.\)

Xét tứ giác \(ABHC\) có: \(BH\)//\(A’C\) và \(A’B\)//\(CH\)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {A’C} \)

Ta có: tứ giác \(ABHC\) là hình bình hành

nên \(M\) là trung điểm của \(A’H\)

Xét \(\Delta AA’H\) có: \(M\) là trung điểm của \(A’H\)

\(O\) là trung điểm của \(AA’\)

\( \Rightarrow \) \(MO\) là đường trung bình của \(\Delta AA’H\)

\( \Rightarrow \) \(MO\)//\(AH\) và \(2MO = AH\)

\( \Rightarrow \) hai vectơ \(\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {AH} \) cùng hướng và \(2\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {AH} .\)

b)     Ta có:

\(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {OM}  + \left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right) = 2\overrightarrow {OM} \)

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {OH} \)     (3)

c)      Ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

nên \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} .\)        (4)