Đồ thị hàm số $y=\dfrac{5 x^{2} – 3 x – 6}{x + 9}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Độ dài $OI$ bằng

Bài toán gốc

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{5 x^{2} – 3 x – 6}{x + 9}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Độ dài $OI$ bằng

A. $P=3 \sqrt{970}$.B. $P=2 \sqrt{2190}$.C. $P=2 \sqrt{2185}$.D. $P=25 \sqrt{14}$.

Lời giải: Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\dfrac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\dfrac{5 x^{2} – 3 x – 6}{x \left(x + 9\right)}=5$.
$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f(x)-5x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\dfrac{5 x^{2} – 3 x – 6}{x + 9}-5x\right)=-48$.
Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y=5 x – 48$.
Mặt khác, $x=-9$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có tâm đối xứng của của đồ thị hàm số trên là giao điểm của $y=5 x – 48$ và $x=-9$.
Suy ra $I(-9;-93)$.
Vậy $OI=\sqrt{\left(-9\right)^2 + \left(-93\right)^2}=3 \sqrt{970}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Dạng bài toán nhận diện tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc hai chia bậc nhất ($y = \frac{Ax^2 + Bx + C}{Dx + E}$). Tâm đối xứng $I$ là giao điểm của Tiệm cận đứng (TCĐ) và Tiệm cận xiên (TCX). Phương pháp giải: 1. Tìm TCĐ bằng nghiệm của mẫu số ($x=h$). 2. Tìm TCX ($y=ax+b$) bằng cách chia đa thức $f(x) = (ax+b) + \frac{R}{x+D}$. 3. Tâm đối xứng $I(h; k)$ với $k=ah+b$. 4. Tính khoảng cách $OI = \sqrt{h^2 + k^2}$.

Bài toán tương tự

Câu 1: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x – 1}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Độ dài $OI$ bằng

A. $\sqrt{65}$.B. $9$.C. $8$.D. $\sqrt{66}$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải ngắn gọn: TCĐ: $x=1$. TCX: Chia đa thức ta có $y=3x+5 + \dfrac{6}{x-1}$. Vậy TCX là $y=3x+5$. Tâm đối xứng $I$ là giao điểm của $x=1$ và $y=3x+5$, suy ra $I(1; 3(1)+5) = I(1; 8)$. Độ dài $OI = \sqrt{1^2 + 8^2} = \sqrt{65}$.

Câu 2: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{-2 x^{2} + 5 x – 3}{x + 2}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Độ dài $OI$ bằng

A. $\sqrt{173}$.B. $13$.C. $\sqrt{175}$.D. $\sqrt{169}$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải ngắn gọn: TCĐ: $x=-2$. TCX: Chia đa thức ta có $y=-2x+9 – \dfrac{21}{x+2}$. Vậy TCX là $y=-2x+9$. Tâm đối xứng $I$ là giao điểm của $x=-2$ và $y=-2x+9$, suy ra $I(-2; -2(-2)+9) = I(-2; 13)$. Độ dài $OI = \sqrt{(-2)^2 + 13^2} = \sqrt{4 + 169} = \sqrt{173}$.

Câu 3: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{4 x^{2} – 10 x + 1}{x – 3}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Độ dài $OI$ bằng

A. $14$.B. $15$.C. $\sqrt{205}$.D. $\sqrt{195}$.

Đáp án đúng: C.

Lời giải ngắn gọn: TCĐ: $x=3$. TCX: $y=4x+2$. Tâm đối xứng $I$ là giao điểm của $x=3$ và $y=4x+2$, suy ra $I(3; 4(3)+2) = I(3; 14)$. Độ dài $OI = \sqrt{3^2 + 14^2} = \sqrt{9 + 196} = \sqrt{205}$.

Câu 4: Cho hàm số $y=\dfrac{x^2 + 6x – 5}{x + 4}$. Gọi $I$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $I$.

A. $2\sqrt{5}$.B. $5$.C. $4\sqrt{2}$.D. $\sqrt{20}$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải ngắn gọn: TCĐ: $x=-4$. TCX: $y=x+2$. Tâm đối xứng $I$ là giao điểm của $x=-4$ và $y=x+2$, suy ra $I(-4; -4+2) = I(-4; -2)$. Độ dài $OI = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Câu 5: Đồ thị hàm số $y=\dfrac{6 x^{2} + x + 10}{x + 5}$ có tâm đối xứng là $I(h;k)$. Tính độ dài đoạn thẳng $OI$.

A. $\sqrt{3506}$.B. $\sqrt{3481}$.C. $\sqrt{3516}$.D. $60$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải ngắn gọn: TCĐ: $x=-5$. TCX: $y=6x-29$. Tâm đối xứng $I$ là giao điểm của $x=-5$ và $y=6x-29$, suy ra $I(-5; 6(-5)-29) = I(-5; -59)$. Độ dài $OI = \sqrt{(-5)^2 + (-59)^2} = \sqrt{25 + 3481} = \sqrt{3506}$.