Đề: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\sin 2x – m\cos 2x = 2m\sin x – 2\cos x\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right].\)

 \(\begin{array}{l}\sin 2x – m\cos 2x = 2m\sin x – 2\cos x\\ \Leftrightarrow m\left( {2\sin x + \cos 2x} \right) = \sin 2x + 2\cos x,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow \left( {2\sin x + \cos 2x} \right) \ne 0\end{array}\)

\( \Rightarrow m = \frac{{\sin 2x + 2\cos x}}{{2\sin x + \cos 2x}}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sin 2x + 2\cos x}}{{2\sin x + \cos 2x}} \Rightarrow f’\left( x \right) = 2\sin 3x – 2 \le 0,\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\)

Suy ra f(x) là hàm nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\)

\( \Rightarrow f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) \le f\left( x \right) \le f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2} \le f\left( x \right) \le 2\)

Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2} \le m \le 2 \Leftrightarrow m \in \left[ {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2};2} \right].\)