Đề: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt x  + \sqrt y  = 2}\\{{x^3} + {y^3} = m}\end{array}} \right.\) có nghiệm.

Ta có \(\sqrt x  + \sqrt y  = 2 \Leftrightarrow x + y + 2\sqrt {xy}  = 4 \Rightarrow x + y = 4 – 2\sqrt {xy}  \le 4\)

Mặt khác \(2 = \sqrt x  + \sqrt y  \ge 2\sqrt {\sqrt {xy} }  \Rightarrow x \le 1 \Rightarrow x + y \ge 2\)

Đặt \(x + y = t \Rightarrow xy = {\left( {2 – \frac{t}{2}} \right)^2},t \in \left[ {2;4} \right] \Rightarrow {x^3} + {y^3} = {\left( {x + y} \right)^3} – 3y\left( {x + y} \right) = {t^3} – 3t{\left( {2 – \frac{t}{2}} \right)^2}\)

Suy ra \({x^3} + {y^3} = m \Leftrightarrow {t^3} – 3t{\left( {2 – \frac{t}{2}} \right)^2} = m \Leftrightarrow f\left( t \right) = \frac{{{t^3}}}{4} + 6{t^2} – 12t = m\)

Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{3}{4}{t^2} + 12t – 12 > 0,\forall t \in \left[ {2;4} \right] \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {2;4} \right] \Rightarrow f\left( 2 \right) \le f\left( t \right) \le f\left( 4 \right)\)

Suy ra hệ PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \( \Leftrightarrow f\left( 2 \right) \le m \le f\left( 4 \right) \Leftrightarrow 2 \le m \le 64.\)