Câu 50: (MH Toan 2020) Cho hàm số $f(x)$. Hàm số $y=f\prime(x)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $g(x)=f\left(1-2x\right)+x^2-x$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 50: (MH Toan 2020) Cho hàm số $f(x)$. Hàm số $y=f\prime(x)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $g(x)=f\left(1-2x\right)+x^2-x$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left(1;\dfrac{3}{2}\right)$.
B. $\left(0;\dfrac{1}{2}\right)$.
C. $\left(-2;-1\right)$.
D. $\left(2;3\right)$.

Lời giải

Đáp án: A
Ta có: $g(x)=f(1-2x)+x^2-x$
$\Rightarrow g\prime(x)=-2f\prime(1-2x)+2x-1$
Để hàm số nghịch biến thì $g\prime (x)\le 0\Leftrightarrow -2f\prime (1-2x)+2x-1\le 0\Leftrightarrow f\prime (1-2x)\ge \frac{2x-1}{2}$
Đặt $t=1-2x$
Vẽ đường thẳng $y=-\dfrac{x}{2}$ và đồ thị hàm số $y=f\prime(x)$ trên cùng một hệ trục, ta có:

Hàm số \(g(x)\) nghịch biến \( \Rightarrow g\prime (x) \le 0 \Rightarrow f\prime (x) \ge – \frac{t}{2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} – 2 \le t \le 0\\t \ge 4\end{array} \right.\)
Như vậy \(f\prime (1 – 2x) \ge \frac{{1 – 2x}}{{ – 2}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 2 \le 1 – 2x \le 0\\4 \le 1 – 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}\\x \le – \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Vậy hàm số \(g(x) = f(1 – 2x) + {x^2} – x\) nghịch biến trên các khoảng \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và \(\left( { – \infty ; – \frac{3}{2}} \right)\).
Mà \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right) \subset \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) nên hàm số \(g(x) = f(1 – 2x) + {x^2} – x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\)