Đề bài: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\) thỏa mãn \(F(0)=0\). Tính \(F(\pi)\).

\(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \tan x \end{array} \right.\) 

\(\Rightarrow F(x) = x.\tan x – \int {{\mathop{\rm tanx}\nolimits} .dx} = x.\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

\(F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\)

Thay \(x = \pi \Rightarrow F\left( x \right) = 0\)