Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _3}(3x + 3) + x = 2y + {9^y}\)? A. \(2019\). B. \(6\). C. \(2021\). D. \(4\).

Có bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _3}(3x + 3) + x = 2y + {9^y}\)?
A. \(2019\). B. \(6\). C. \(2021\). D. \(4\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

+ Ta có: \({\log _3}\left( {3x + 3} \right) + x = 2y + {9^y}{\mkern 1mu} \Leftrightarrow 1 + {\mkern 1mu} {\log _3}\left( {x + 1} \right){\mkern 1mu} + x = 2y + {9^y}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} & \left( 1 \right)\)
+ Đặt \(t = {\log _3}\left( {x + 1} \right)\). Suy ra: \(x + 1 = {3^t} \Leftrightarrow x = {3^t} – 1\). Khi đó: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow t + {3^t} = 2y + {3^{2y}} & {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\)
Xét hàm số: \(f\left( h \right) = h + {3^h}\). Ta có: \(f’\left( h \right) = 1 + {3^h}.\ln 3{\mkern 1mu} > 0{\mkern 1mu} ,\forall h \in \mathbb{R}\)
 Hàm số \(f\left( h \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) = f\left( {2y} \right) \Leftrightarrow t = 2y \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) = 2y \Leftrightarrow x + 1 = {3^{2y}} \Leftrightarrow x + 1 = {9^y}\)
+ Do \(0 \le x \le 2020\) nên \(1 \le x + 1 \le 2021 \Leftrightarrow 1 \le {9^y} \le 2021 \Leftrightarrow 0 \le y \le {\log _9}2021 \approx 3,46\)
Do \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y \in \left\{ {0;{\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 3} \right\}\), với mỗi giá trị \(y\) cho ta \(1\) giá trị \(x\) thoả đề.
Vậy có \(4\) cặp số nguyên \(\left( {x{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} y} \right)\) thoả đề.