Cho hàm số \(y = \frac{{2x – 2}}{{x – 2}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\), \(M\)là điểm thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\)cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) thỏa mãn \(AB = 2\sqrt 5 \). Gọi \(S\) là tổng các hoành độ của tất cả các điểm \(M\) thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của \(S\).

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{2x – 2}}{{x – 2}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\), \(M\)là điểm thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\)cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) thỏa mãn \(AB = 2\sqrt 5 \). Gọi \(S\) là tổng các hoành độ của tất cả các điểm \(M\) thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của \(S\).

A. \(6\).

B. \(5\).

C. \(8\).

D. \(7\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(y’ = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\).

Đồ thị \(\left( C \right)\) có hai đường tiệm cận là \(x = 2\) và \(y = 2\).

Gọi \(M\left( {m;\,\frac{{2m – 2}}{{m – 2}}} \right) \in \left( C \right)\,\left( {m \ne 2} \right)\).

Phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là \(y = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {m – 2} \right)}^2}}}\left( {x – m} \right) + \frac{{2m – 2}}{{m – 2}}\).

\(\left( C \right)\) cắt hai đường tiệm cận tại các điểm \(A\left( {2;\,\frac{{2m}}{{m – 2}}} \right)\) và \(B\left( {2m – 2;\,2} \right)\).

Theo giả thiết \(AB = 2\sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow {\left( {2m – 4} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {m – 2} \right)}^2}}} = 20\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m – 2} \right)^4} – 5{\left( {m – 2} \right)^2} + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m – 2} \right)^2} = 1\\{\left( {m – 2} \right)^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\\m = 4\\m = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(S = 8\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Tiệm cận