📌 Đề bài:
Cho hai tập hợp $A = (-\infty; m + 1)$ và $B = [2m – 3; +\infty)$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $A \cup B = \mathbb{R}$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán về phép toán trên tập hợp số chứa tham số, ta áp dụng các kiến thức cơ bản sau:
- Hợp của hai tập hợp $A$ và $B$ là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$: $A \cup B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in A \text{ hoặc } x \in B\}$.
- Để $A \cup B = \mathbb{R}$, không được tồn tại bất kỳ phần tử thực nào nằm ngoài cả hai tập $A$ và $B$.
- Xét tập $A = (-\infty; a)$ và $B = [b; +\infty)$. Hợp của hai tập này phủ kín toàn bộ trục số thực $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi điểm bắt đầu của tập $B$ nhỏ hơn hoặc bằng điểm kết thúc của tập $A$, tức là $b \le a$.
- Lưu ý: Nếu cả hai đầu mút đều là khoảng mở $(-\infty; a)$ và $(b; +\infty)$ thì điều kiện để $A \cup B = \mathbb{R}$ phải là $b < a$ (vì nếu $b = a$ thì phần tử $x = a$ không thuộc tập nào). Khi giải các bài toán về giao và hợp của tập hợp chứa tham số, học sinh cần biểu diễn trực quan trên trục số để tránh nhầm lẫn dấu bằng.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Ta có:
$$A = (-\infty; m + 1) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < m + 1\}$$
$$B = [2m – 3; +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 2m – 3\}$$
Xét phần bù của tập $A$ trong $\mathbb{R}$:
$$C_{\mathbb{R}}A = [m + 1; +\infty)$$
Để $A \cup B = \mathbb{R}$, mọi phần tử không thuộc $A$ đều bắt buộc phải thuộc $B$, tức là:
$$C_{\mathbb{R}}A \subset B \iff [m + 1; +\infty) \subset [2m – 3; +\infty)$$
Điều này tương đương với:
$$2m – 3 \le m + 1 \iff 2m – m \le 1 + 3 \iff m \le 4$$
Kiểm tra lại:
- Nếu $m = 4$, ta có $A = (-\infty; 5)$ và $B = [5; +\infty)$. Khi đó $A \cup B = (-\infty; 5) \cup [5; +\infty) = \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
- Nếu $m > 4$, chẳng hạn $m = 5$, ta có $A = (-\infty; 6)$ và $B = [7; +\infty)$. Khi đó khoảng $[6; 7)$ không thuộc $A$ và cũng không thuộc $B$, nên $A \cup B \ne \mathbb{R}$.
Do đó, giá trị cần tìm của $m$ là $m \le 4$. Tương tự như bài toán 👉 Kết luận / Đáp án: Chọn đáp án A ($m \le 4$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho hai tập hợp $A = (-\infty; 2m – 1]$ và $B = (m + 3; +\infty)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $A \cup B = \mathbb{R}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Để $A \cup B = \mathbb{R}$, ta cần $C_{\mathbb{R}}A \subset B$, trong đó $C_{\mathbb{R}}A = (2m – 1; +\infty)$.
Suy ra $(2m – 1; +\infty) \subset (m + 3; +\infty) \iff m + 3 \le 2m – 1 \iff m \ge 4$.
Đáp số: $m \ge 4$.
Bài tập 2: Cho hai tập hợp $A = (-\infty; 3m – 2)$ và $B = (m + 4; +\infty)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $A \cup B = \mathbb{R}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Vì cả hai tập $A$ và $B$ đều là khoảng mở, nên nếu $m + 4 = 3m – 2$ thì phần tử $x = 3m – 2$ không thuộc $A$ cũng không thuộc $B$. Do đó, để $A \cup B = \mathbb{R}$, ta phải có:
$$m + 4 < 3m - 2 \iff 2m > 6 \iff m > 3$$
Đáp số: $m > 3$.
Bài tập 3: Cho hai tập hợp $A = (m – 2; m + 3)$ và $B = [-1; 4]$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $B \subset A$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Để đoạn $[-1; 4] \subset (m – 2; m + 3)$, ta cần:
$$\begin{cases} m – 2 < -1 \\ m + 3 > 4 \end{cases} \iff \begin{cases} m < 1 \\ m > 1 \end{cases} \implies m \in \varnothing$$
Đáp số: Không tồn tại giá trị $m$ nào thỏa mãn ($m \in \varnothing$).
Bài tập 4: Cho hai tập hợp $A = [m – 1; m + 4]$ và $B = (-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $A \cap B = \varnothing$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $A \cap B = \varnothing \iff A \subset C_{\mathbb{R}}B$.
Mặt khác $C_{\mathbb{R}}B = [-2; 5]$.
Do đó $[m – 1; m + 4] \subset [-2; 5] \iff \begin{cases} m – 1 \ge -2 \\ m + 4 \le 5 \end{cases} \iff \begin{cases} m \ge -1 \\ m \le 1 \end{cases} \iff -1 \le m \le 1$.
Đáp số: $-1 \le m \le 1$.
Bài tập 5: Cho hai khoảng $A = (m; m + 2)$ và $B = (2m – 1; 2m + 3)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $A \cap B = \varnothing$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Hai khoảng $A$ và $B$ không giao nhau khi và chỉ khi:
$$\left[ \begin{array}{l} m + 2 \le 2m – 1 \\ 2m + 3 \le m \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{l} m \ge 3 \\ m \le -3 \end{array} \right.$$
Đáp số: $m \le -3$ hoặc $m \ge 3$.
Để lại phản hồi