📌 Đề bài:
Cho hai tập hợp $A = [m – 1; m + 5]$ và $B = (2m – 3; 2m + 1)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $A \cap B \ne \varnothing$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết bài toán tìm điều kiện để hai tập hợp có giao khác rỗng ($A \cap B \ne \varnothing$), ta thường sử dụng phương pháp tìm phần bù (biến cố đối):
- Bước 1: Xác định điều kiện tồn tại của các tập hợp $A$ và $B$ (nếu có). Ở đây với mọi $m \in \mathbb{R}$, ta luôn có $m – 1 < m + 5$ và $2m - 3 < 2m + 1$ nên $A \ne \varnothing$ và $B \ne \varnothing$.
- Bước 2: Xét điều kiện để giao của hai tập hợp bằng rỗng ($A \cap B = \varnothing$). Đoạn $A$ và khoảng $B$ không giao nhau khi và chỉ khi tập hợp này nằm hoàn toàn về phía bên trái hoặc hoàn toàn về phía bên phải của tập hợp kia trên trục số thực.
- Bước 3: Lấy phủ định của điều kiện $A \cap B = \varnothing$ để thu được tập giá trị của tham số $m$ thỏa mãn $A \cap B \ne \varnothing$. Phương pháp này tương tự với kỹ thuật xét bài toán
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở) 1. Nhận xét về điều kiện tồn tại:
Ta thấy với mọi $m \in \mathbb{R}$:
$$m – 1 < m + 5 \quad \text{và} \quad 2m - 3 < 2m + 1$$
Do đó, tập hợp $A = [m – 1; m + 5]$ là một đoạn và tập hợp $B = (2m – 3; 2m + 1)$ là một khoảng luôn xác định khác rỗng với mọi số thực $m$.
2. Tìm điều kiện để $A \cap B = \varnothing$:
Hai tập hợp $A$ và $B$ không có điểm chung khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau trên trục số:
$$\left[\begin{array}{l} B \text{ nằm hoàn toàn bên trái } A \\ B \text{ nằm hoàn toàn bên phải } A \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l} 2m + 1 \le m – 1 \\ 2m – 3 \ge m + 5 \end{array}\right. \iff \left[\begin{array}{l} m \le -2 \\ m \ge 8 \end{array}\right.$$
Lưu ý: Tại điểm biên $2m + 1 = m – 1$, do $B$ là khoảng mở nên phần tử $2m + 1 \notin B$, trong khi $m – 1 \in A$, vì vậy hai tập hợp vẫn không có phần tử chung ($A \cap B = \varnothing$). Tương tự tại điểm $2m – 3 = m + 5$.
3. Lấy phủ định để tìm điều kiện $A \cap B \ne \varnothing$:
Phủ định của mệnh đề trên là:
$$-2 < m < 8$$
👉 Kết luận: Chọn đáp án A ($-2 < m < 8$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho hai tập hợp $A = [m; m + 3]$ và $B = (1; 5)$. Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để $A \cap B \ne \varnothing$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $A \cap B = \varnothing \iff m + 3 \le 1$ hoặc $m \ge 5 \iff m \le -2$ hoặc $m \ge 5$.
Do đó, $A \cap B \ne \varnothing \iff -2 < m < 5$.
Đáp số: $-2 < m < 5$.
Bài tập 2: Cho hai tập hợp $A = (m – 2; m + 4)$ và $B = [0; 3]$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $B \subset A$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Để $B \subset A$, ta cần có:
$$\begin{cases} m – 2 < 0 \\ m + 4 > 3 \end{cases} \iff \begin{cases} m < 2 \\ m > -1 \end{cases} \iff -1 < m < 2$$
Đáp số: $-1 < m < 2$.
Bài tập 3: Cho hai tập hợp $A = (-\infty; m + 1)$ và $B = [3m – 5; +\infty)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $A \cap B = \varnothing$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Để hai tập hợp $A = (-\infty; m + 1)$ và $B = [3m – 5; +\infty)$ không giao nhau ($A \cap B = \varnothing$), mút phải của $A$ phải nhỏ hơn hoặc bằng mút trái của $B$:
$$m + 1 \le 3m – 5 \iff 2m \ge 6 \iff m \ge 3$$
Đáp số: $m \ge 3$.
Bài tập 4: Cho hai tập hợp $A = [m – 1; m + 1]$ và $B = [1; 4]$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $A \cap B$ là một đoạn có độ dài bằng $1$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Đoạn $A$ có độ dài $(m + 1) – (m – 1) = 2$. Giao $A \cap B$ có độ dài bằng $1$ khi xảy ra 2 trường hợp:
1) Phần giao là $[1; m + 1]$ với độ dài $(m + 1) – 1 = 1 \iff m = 1$. Khi đó $A = [0; 2]$, $A \cap B = [1; 2]$ có độ dài $1$ (thỏa mãn).
2) Phần giao là $[m – 1; 4]$ với độ dài $4 – (m – 1) = 1 \iff 5 – m = 1 \iff m = 4$. Khi đó $A = [3; 5]$, $A \cap B = [3; 4]$ có độ dài $1$ (thỏa mãn).
Đáp số: $m = 1$ hoặc $m = 4$.
Bài tập 5: Cho hai tập hợp $A = [1; 3]$ và $B = (m – 1; m + 2)$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ để $A \cap B \ne \varnothing$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ta có $A \cap B = \varnothing \iff m + 2 \le 1$ hoặc $m – 1 \ge 3 \iff m \le -1$ hoặc $m \ge 4$.
Suy ra $A \cap B \ne \varnothing \iff -1 < m < 4$.
Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{0; 1; 2; 3\}$.
Đáp số: $m \in \{0; 1; 2; 3\}$.
Để lại phản hồi