Cho các số thực \(x \ge 1,y > 0\) thỏa mãn \({\log _{2021}}\left( {2021x + 4042} \right) + x – 2y – {2021^{2y}} = – 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + x + 1 + {2021^{2y}}\) . A. \(4\) . B. \(5\) . C. \(6\). D. \(3\) .

Cho các số thực \(x \ge 1,y > 0\) thỏa mãn \({\log _{2021}}\left( {2021x + 4042} \right) + x – 2y – {2021^{2y}} = – 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + x + 1 + {2021^{2y}}\) .
A. \(4\) . B. \(5\) . C. \(6\). D. \(3\) .
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Ta có
\(\begin{array}{l}{\log _{2021}}\left( {2021x + 4042} \right) + x – 2y – {2021^{2y}} = – 1\\ \Leftrightarrow {\log _{2021}}\left[ {2021.\left( {x + 2} \right)} \right] + x – 2y – {2021^{2y}} = – 1\\ \Leftrightarrow {\log _{2021}}\left( {x + 2} \right) + x + 2 = 2y + {2021^{2y}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {2021^t},\,\,\left( {t > 0} \right)\), có \(f’\left( t \right) = 1 + {2021^t}\ln 2021 > 0\) do vậy \(f\left( t \right)\) là hàm liên tục, đồng biến với \(t > 0\) .
Mặt khác \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_{2021}}\left( {x + 2} \right)} \right) = f\left( {2y} \right) \Leftrightarrow 2y = {\log _{2021}}\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow x + 2 = {2021^{2y}}\).
Do đó \(P = {x^2} + x + 1 + {2021^{2y}} = {x^2} + x + 1 + x + 2 = {x^2} + 2x + 3 \ge 6,\,\,\forall x \ge 1\).
Vậy \(MinP = 6\) đạt tại \(x = 1,y = {\log _{2021}}\sqrt 3 \).