Cho bất phương trình \({\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\)để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng \(\left( {1;3} \right)\)? A. \(36\). B. \(35\). C. \(34\). D. vô số.

Cho bất phương trình \({\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\)để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng \(\left( {1;3} \right)\)?
A. \(36\). B. \(35\). C. \(34\). D. vô số.
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Bất phương trình đã cho tương đương \({\log _7}\left[ {7\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \right] > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) > {x^2} + 6x + 5 + m\\{x^2} + 6x + 5 + m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6{x^2} + 8x + 9 > m\\{x^2} + 6x + 5 > – m\end{array} \right.\) .
Xét \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 6{x^2} + 8x + 9\\g\left( x \right) = {x^2} + 6x + 5\end{array} \right.,\forall x \in \left( {1;3} \right)\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) = 12x + 8 > 0\\g’\left( x \right) = 2x + 6 > 0\end{array} \right.,\forall x \in \left( {1;3} \right)\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > m\\g\left( x \right) > – m\end{array} \right.,\forall x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \ge m\\g\left( 1 \right) \ge – m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}23 \ge m\\12 \ge – m\end{array} \right. \Leftrightarrow – 12 \le m \le 23\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { – 12, – 11, – 10,…21,22,23} \right\}\). Vậy có 36 giá trị \(m\)cần tìm .