Câu 40: (MH Toan 2020) Cho hình nón có chiều cao bằng \(2\sqrt 5 \). Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng \(9\sqrt 3 \). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

Câu 40: (MH Toan 2020) Cho hình nón có chiều cao bằng \(2\sqrt 5 \). Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng \(9\sqrt 3 \). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A. \(\frac{{32\sqrt 5 \pi }}{3}\).
B. \(32\pi \).
C. \(32\sqrt 5 \pi \).
D. \(96\pi \).

Lời giải

Vì tam giác \(SAB\) đều nên ta có \({S_{\Delta SAB}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = 9\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow A{B^2} = 36 \Leftrightarrow AB = 6\)\( \Rightarrow AH = 3\) (vì \(H\) là trung điểm của \(AB\)).
Ta có \(SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \)
Xét tam giác \(SOH\) vuông tại \(O\), ta có \(OH = \sqrt {S{H^2} – S{O^2}} = \sqrt 7 \)
Xét tam giác \(OAH\) vuông tại \(H\), ta có \(OA = \sqrt {A{H^2} + O{H^2}} = 4\)
\( \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi {R^2}.h = \frac{1}{3}.\pi {.4^2}.2\sqrt 5 = \frac{{32\pi \sqrt 5 }}{3}\)
Đáp án: A