• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 11 / Bài 5: Phép quay – Chương 1 – Hình học 11

Bài 5: Phép quay – Chương 1 – Hình học 11

01/11/2019 by admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Toán lớp 11 Tag với:Học chương 1 hình học 11

Mục lục:

  1. 1. Định nghĩa
  2. 2. Tính chất của phép quay
  3. 3. Biểu thức tọa độ của phép quay
  4. Bài tập minh họa

1. Định nghĩa

Cho điểm \(O\) và góc lượng giác \(\alpha \). Phép biến hình biến \(O\) thành chính nó và biến mỗi điểm \(M \ne O\) thành điểm \(M’\) sao cho \(OM’ = OM\) và góc lượng giác \(\widehat {\left( {OM,OM’} \right)} = \alpha \) được gọi là phép quay tâm \(O\), góc quay \(\alpha \).

Kí hiệu: \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\)

– Khi \(\alpha  = \left( {2k + 1} \right)\pi ,k \in Z\) thì \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\) là phép đối xứng tâm \(O\).

– Khi \(\alpha  = k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) thì \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\) là phép đồng nhất.

2. Tính chất của phép quay

– Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

– Biến một đường thẳng thành đường thẳng.

– Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

– Biến một tam giác bằng tam giác đã cho.

– Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Giả sử phép quay tâm \(I\) góc quay \(\alpha \) biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(d’\), khi đó:

– Nếu \(0 < \alpha  \le \dfrac{\pi }{2}\) thì góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) bằng \(\alpha \).

– Nếu \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) thì góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) bằng \(\pi  – \alpha \).

3. Biểu thức tọa độ của phép quay

Trong mặt phẳng \(Oxy\), giả sử \(M\left( {x;y} \right)\) và \(M’\left( {x’;y’} \right) = {Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\left( M \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = x\cos \alpha  – y\sin \alpha \\y’ = x\sin \alpha  + y\cos \alpha \end{array} \right.\)

Trong mặt phẳng \(Oxy\), giả sử \(M\left( {x;y} \right),I\left( {a;b} \right)\) và \(M’\left( {x’;y’} \right) = {Q_{\left( {I,\alpha } \right)}}\left( M \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = a + \left( {x – a} \right)\cos \alpha  – \left( {y – b} \right)\sin \alpha \\y’ = b + \left( {x – a} \right)\sin \alpha  + \left( {y – b} \right)\cos \alpha \end{array} \right.\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy xác định ảnh của:

a) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 3600.

b) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 1200.

c) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -1800.

d) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -3000.

Hướng dẫn giải:

Bài 5: Phép quay – Chương 1 – Hình học 11

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( A \right) = A\\{Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( B \right) = B\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OAB\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( A \right) = E\\{Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( B \right) = F\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OEF.\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O, – {{180}^0}} \right)}}\left( A \right) = D\\{Q_{\left( {O, – {{180}^0}} \right)}}\left( B \right) = E\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O, – {{180}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = ODE.\)

d) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O, – {{300}^0}} \right)}}\left( A \right) = F\\{Q_{\left( {O, – {{300}^0}} \right)}}\left( B \right) = A\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O, – {{300}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OFA.\)

 

Ví dụ 2:

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;0) và đường thẳng d: \(x + 2y – 2 = 0,\) đường tròn \(\left( C \right):\) \({x^2} + {y^2} – 4x = 0.\) Xét phép quay Q tâm O góc quay \({90^0}.\)

a) Tìm ảnh của điểm M qua phép quay Q.

b) Tìm ảnh của d qua phép quay Q.

c) Tìm ảnh của (C) qua phép quay Q.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: Vì \(M(2;0) \in Ox\) nên: \({Q_{\left( {0;{{90}^0}} \right)}}(M) = M’:\left\{ \begin{array}{l}M’ \in Oy\\OM = OM’\end{array} \right. \Rightarrow M'(0;2).\)

Bài 5: Phép quay – Chương 1 – Hình học 11

b) Ta có \(M\left( {2;0} \right) \in d,\) ảnh của M qua phép quay Q theo câu a là M’(0;2).

Gọi d’ là ảnh của d qua Q ta có d’ là đường thẳng qua M’ và vuông góc với d.

Đường thẳng d có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right),\) suy ra d’ có VTPT là \(\overrightarrow {n’}  = \left( {2; – 1} \right)\)

Vậy phương trình của d’ là: \(2(x – 0) – 1(y – 2) = 0 \Leftrightarrow 2x – y + 2 = 0.\)

c) Đường tròn (C) có tâm M(2;0) và bán kính R=2.

Ảnh của M qua Q là M’(0;2).

Gọi (C) là ảnh của (C) qua Q, (C’) có tâm M’ và bán kính R=2.

Vậy phương trình của (C’) là: \({(x – 0)^2} + {(y – 2)^2} = 4.\)

 

Ví dụ 3:

Tìm ảnh của điểm A(3;4) qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}.\)

Hướng dẫn giải:

Với phép quay tâm O góc 90 độ điểm A thành A’(x;y) có tọa độ thỏa mãn: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}OA = OA’\\(OA;OA’) = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^2} + {4^2} = {x^2} + {y^2}\\\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OA’}  = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 25\\3x + 4y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x =  – 4\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  – 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(\alpha  = {90^0} > 0\) phép quay theo chiều dương suy ra: \(A'( – 4;3).\)

Bài liên quan:

  • Ôn Chương 1 – Hình học 11
  • Bài 8: Phép đồng dạng – Chương 1 – Hình học 11
  • Bài 7: Phép vị tự – Chương 1 – Hình học 11
  • Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau – Chương 1 – Hình học 11
  • Bài 2: Phép tịnh tiến – Chương 1 – Hình học 11

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2020) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.