Bài 8: Phép đồng dạng – Chương 1 – Hình học 11

1. Định nghĩa

Phép biến hình \(F\) được gọi là phép đồng dạng tỉ số \(k\left( {k > 0} \right)\) nếu với hai điểm \(M,N\) bất kì và ảnh \(M’,N’\) của chúng ta luôn có \(M’N’ = k.MN\).

– Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số \(k = 1\).

– Phép vị tự tỉ số \(k\) là phép đồng dạng tỉ số \(\left| k \right|\).

– Nếu thực hiện liên tiếp các phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng.

2. Tính chất

– Phép đồng dạng tỉ số \(k\) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thằng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.

– Biến một đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

– Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.

– Biến đường tròn có bán kính \(R\) thành đường tròn có bán kính \(k.R\).

– Nếu một phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác \(A’B’C’\) thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiến của tam giác thành các vị trí đó trong tam giác \(A’B’C’\).

– Phép đồng dạng biến đa giác \(n\) cạnh thành đa giác \(n\) cạnh, đỉnh thành đỉnh, cạnh thành cạnh.

3. Hai hình đồng dạng

Hai hình được gọi là đồng dạng nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

 

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho đường thẳng \(d:x – y + 1 = 0,\) viết phương trình d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng bằng cách thực hiện qua phép vị tự tâm I(1;1), tỉ số k=2 và phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = ( – 2; – 1).\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(M(0;1) \in d\)

Qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=2 ta có: \({V_{\left( {I;2} \right)}}(d) = {d_1}.\)

Suy ra phương trình \({d_1}\) có dạng: \(x – y + c = 0.\)

Mặt khác: \({V_{\left( {I;2} \right)}}(M) = {M_1}({x_1};{y_1}) \in {d_1}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{{{\mathop{\rm IM}\nolimits} }_1}}  = 2.\overrightarrow {IM}  \Rightarrow {M_1}\left( { – 1;1} \right).\)

Vậy \({d_1}:x – y + 2 = 0.\)

Qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v ,\)ta có: \({T_{\overrightarrow V }}({d_1}) = {d_2}\)

Suy ra phương trình \({d_2}\) có dạng: \(x – y + d = 0.\)

Mặt khác: \({M_1} \in {d_1} \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}({M_1}) = {M_2}({x_2};{y_2}) \in {d_2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \overrightarrow v  \Rightarrow {M_2}( – 2;1).\)

Vậy \({d_2}\) có phương trình: \(x – y + 3 = 0.\)

Qua phép đồng dạng đường thẳng \(d:x – y + 1 = 0\) trở thành đường thẳng \({d_2}:x – y + 3 = 0.\)

 

Ví dụ 2:

Cho đường tròn \(\left( C \right):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} = 4.\) Xác định ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=-2 và phép đối xứng trục Oy.

Hướng dẫn giải:

(C) có tâm I(1;2) bán kính R=2.

Gọi I’ và R’ lần lượt là tâm và bán kính của (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=-2.

Suy ra: R’=4.

Ta có: \({V_{\left( {O; – 2} \right)}}(I) = I’ \Rightarrow \overrightarrow {OI’}  =  – 2\overrightarrow {OI}  \Rightarrow I'( – 2; – 4)\)

Vậy phương trình của (C’) là: \({(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} = 16.\)

Gọi I’’, R’’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C’’) là ảnh của (C’) qua phép đối xứng trục Oy.

Suy ra: \(R” = 4.\)

I’’=Đ_Oy(I’)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I”}} =  – {x_{I’}} = 2\\{y_{I”}} = {y_{I’}} =  – 4\end{array} \right.\)

Vậy phương trình (C’’) là: \({(x – 2)^2} + {(y + 4)^2} = 16.\)