• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 11 / Bài 7: Phép vị tự – Chương 1 – Hình học 11

Bài 7: Phép vị tự – Chương 1 – Hình học 11

Đăng ngày: 01/11/2019 Biên tâp: admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Toán lớp 11

Mục lục:

  1. 1. Định nghĩa
  2. 2. Tính chất
  3. 3. Biểu thức tọa độ
  4. 4. Tâm vị tự của hai đường tròn
  5. Bài tập minh họa

1. Định nghĩa

Cho điểm \(I\) và một số thực \(k \ne 0\). Phép biến hình biến mỗi điểm \(M\) thành điểm \(M’\) sao cho \(\overrightarrow {IM’}  = k.\overrightarrow {IM} \) được gọi là phép vị tự tâm \(I\) tỉ số \(k\).

Kí hiệu \({V_{\left( {I;k} \right)}}\).

2. Tính chất

– Nếu ${V_{\left( {I;k} \right)}}\left( M \right) = M’,{V_{\left( {I;k} \right)}}\left( N \right) = N’$ thì $\overrightarrow {M’N’}  = k\overrightarrow {MN} $ và $M’N’ = \left| k \right|MN$

– Phép vị tự tỉ số \(k\) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.

– Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

– Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.

– Biến đường tròn có bán kính \(R\)  thành đường tròn có bán kính $\left| k \right|R$

3. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ, cho $I\left( {{x_0};{y_0}} \right),M\left( {x;y} \right)$, gọi $M’\left( {x’;y’} \right) = {V_{\left( {I;k} \right)}}\left( M \right)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x’ = kx + \left( {1 – k} \right){x_0}\\y’ = ky + \left( {1 – k} \right){y_0}\end{array} \right.$.

4. Tâm vị tự của hai đường tròn

Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

Cho hai đường tròn $\left( {I;R} \right)$ và $\left( {I’;R’} \right)$

– Nếu $I \equiv I’$ thì các phép vị tự ${V_{\left( {I; \pm \frac{{R’}}{R}} \right)}}$ biến $\left( {I;R} \right)$ thành $\left( {I’;R’} \right)$.

– Nếu $I \ne I’$ và $R \ne R’$ thì các phép vị tự ${V_{\left( {O;\frac{{R’}}{R}} \right)}}$ và ${V_{\left( {{O_1}; – \frac{{R’}}{R}} \right)}}$ biến $\left( {I;R} \right)$ thành $\left( {I’;R’} \right)$. Ta gọi $O$ là tâm vị tự ngoài còn ${O_1}$ là tâm vị tự trong của hai đường tròn.

Bài 7: Phép vị tự – Chương 1 – Hình học 11

Nếu $I \ne I’$ và $R = R’$ thì có ${V_{\left( {{O_1}; – 1} \right)}}$ biến $\left( {I;R} \right)$ thành $\left( {I’;R’} \right)$

Bài 7: Phép vị tự – Chương 1 – Hình học 11

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho \(\Delta ABC\). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tìm phép vị tự biến B và C tương ứng thành E và F.

Hướng dẫn giải:

Bài 7: Phép vị tự – Chương 1 – Hình học 11

Vì BE và CF cắt nhau tại A nên A là tâm vị tự cần tìm.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{V_{\left( {A,k} \right)}}\left( B \right) = E \Leftrightarrow \overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AB} \\{V_{\left( {A,k} \right)}}\left( C \right) = F \Leftrightarrow \overrightarrow {AF}  = k\overrightarrow {AC} \end{array} \right.\)

\(\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AE} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {AF} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{1}{2}\)

(do \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng)

Vậy phép vị tự cần tìm là \({V_{\left( {A,\frac{1}{2}} \right)}}.\)

 

Ví dụ 2:

Cho \(\Delta ABC\) có A’, B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến \(\Delta ABC\) thành \(\Delta A’B’C’\).

Hướng dẫn giải:

-Vì AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại G nên G là tâm vị tự cần tìm.

Bài 7: Phép vị tự – Chương 1 – Hình học 11

-Ta có: \({V_{\left( {G,k} \right)}}\left( A \right) = A’ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA’}  = k\overrightarrow {GA} \)

\(\left| k \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {GA’} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {GA} } \right|}} = \frac{1}{2} \Rightarrow k =  – \frac{1}{2}\)

(do \(\overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow {GA’} \) ngược hướng)

Vậy phép vị tự cần tìm là \({V_{\left( {G, – \frac{1}{2}} \right)}}.\)

 

Ví dụ 3:

Cho hai đường tròn \(\left( {O;2R} \right)\) và \(\left( {O’;R} \right)\) ngoài nhau. Tìm phép vị tự biến \(\left( {O;2R} \right)\) thành \(\left( {O’;R} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Bài 7: Phép vị tự – Chương 1 – Hình học 11

Lấy M bất kỳ trên \(\left( {O;2R} \right)\), vẽ đường thẳng qua O’ song song với OM cắt \(\left( {O’;R} \right)\) tại M’ và N’. Gọi MM’ cắt OO’ tại I, MN’ cắt OO’ tại J.

I là tâm vị tự ngoài, tỷ số vị tự \(k = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2}\)

J là tâm vị tự trong, tỷ số vị tự \(k =  – \frac{R}{{2R}} =  – \frac{1}{2}\)

 

Ví dụ 4:

a) Cho \(A(1; – 3).\) Tìm tọa độ \(A’ = {V_{\left( {O; – 2} \right)}}(A).\)

b) Cho \(d:x + 2y + 3 = 0.\) Tìm phương trình \(d’ = {V_{\left( {I;2} \right)}}(d)\) biết I(1;2).

Hướng dẫn giải:

a) Gọi \({\rm{A’ (x’;y’)}}\)

Ta có \(A’ = {V_{\left( {O; – 2} \right)}}(A) \Rightarrow \overrightarrow {OA’}  =  – 2.\overrightarrow {OA}  \Rightarrow (x’;y’) =  – 2(1; – 3) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ =  – 2\\y’ = 6\end{array} \right. \Rightarrow A'( – 2;6).\)

b) Chọn \(M( – 3;0) \in d.\)

Gọi \(M’ = {V_{(I;k)}}(M)\)

Ta có: \(\overrightarrow {IM}  = \left( { – 4; – 2} \right)\)

\(M’ = {V_{(I;2)}}(M) \Rightarrow \overrightarrow {IM’}  = 2\overrightarrow {IM}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M}’ – 1 =  – 8\\{y_M}’ – 2 =  – 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M}’ =  – 7\\{y_M}’ =  – 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M'( – 7; – 2) \in d’\)

Theo tính chất của phép vị tự d’ song song hoặc trùng với d suy ra đường thẳng d’ có một VTPT là: \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right).\)

Vậy phương trình d’ là: \(1(x + 7) + 2(y + 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 11 = 0.\)

 

Ví dụ 5:

Tìm ảnh của (C): \({(x – 3)^2} + {(y + 1)^2} = 5\) qua phép vị tự tâm I(1;2), tỉ số k=-2.

Hướng dẫn giải:

Đường tròn \((C):{(x – 3)^2} + {(y + 1)^2} = 5\) có tâm \(M(3; – 1),\) bán kính \(R = \sqrt 5 .\)

Gọi đường tròn (C’) có tâm M’(x’;y’), bán kính R’ là ảnh của của (C).

Do \(k =  – 2 \Rightarrow R’ = 2\sqrt 5 .\)

Ta có: \(\overrightarrow {IM}  = \left( {2; – 3} \right)\)

\({V_{\left( {I; – 2} \right)}}(M) = M’ \Rightarrow \overrightarrow {IM’}  =  – 2\overrightarrow {IM}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ – 1 =  – 4\\y’ – 2 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ =  – 3\\y’ = 8\end{array} \right. \Rightarrow M'( – 3;8).\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x + 3)^2} + {(y – 8)^2} = 20.\)

 

Tag với:Học chương 1 hình học 11

Bài liên quan:

  • Ôn Chương 1 – Hình học 11
  • Bài 8: Phép đồng dạng – Chương 1 – Hình học 11
  • Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau – Chương 1 – Hình học 11
  • Bài 5: Phép quay – Chương 1 – Hình học 11
  • Bài 2: Phép tịnh tiến – Chương 1 – Hình học 11

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2021) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.