Bài 2: Phép tịnh tiến – Chương 1 – Hình học 11

1. Định nghĩa

Phép đặt tương ứng mỗi điểm \(M\) với một điểm \(M’\) sao cho \(\overrightarrow {MM’}  = \overrightarrow u \) (\(\overrightarrow u \) là một véc tơ cố định) gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow u \).

2. Tính chất

+) Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm bất kì \(M,N\) thành hai điểm \(M’,N’\) thì \(MN = M’N’\).

+) Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

+) Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

+) Phép tịnh tiến biến tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó, góc thành góc có số đo bằng nó, tam giác thành tam giác bằng nó, đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng nó.

3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Cho điểm \(M\left( {x;y} \right)\) và véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\). Phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow u \) biến \(M\) thành \(M’\left( {x’;y’} \right)\) thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l}x’ = x + a\\y’ = y + b\end{array} \right.\)

4. Một số dạng bài tập và phương pháp giải

a) Dạng 1

Cho điểm \(A\left( {x;y} \right)\) tìm ảnh \(A’\left( {x’;y’} \right)\) là ảnh của \(A\) qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Phương pháp giải:

Ta có: \({\rm{A’  =  }}{{\rm{T}}_{\overrightarrow v }}(A) \Leftrightarrow \overrightarrow {AA’}  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow (x’ – x;y’ – y) = ({x_0};{y_0}) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ – x = {x_0}\\y’ – y = {y_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = x + {x_0}\\y’ = y + {y_0}\end{array} \right.\)

Vậy: \(A’\left( {x + {x_0};y + {y_0}} \right)\).

b) Dạng 2

Cho đường thẳng\(d:ax + by + c = 0\) tìm ảnh của d qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Phương pháp giải:

Gọi \(d’\) là ảnh của d qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

• Phương pháp giải 1:

Với \(M = \left( {x;y} \right) \in d\) ta có \({T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M’\left( {x’;y’} \right) \in d’\).

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép \({T_{\overrightarrow v }}\): \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = x + {x_0}\\y’ = y + {y_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x’ – {x_0}\\y = y’ – {y_0}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có \(d’:a\left( {x’ – {x_0}} \right) + b\left( {y’ – {y_0}} \right) + c = 0 \Leftrightarrow ax’ + by’ – a{x_0} – b{y_0} + c = 0\)

Vậy phương trình của d’ là : \(ax + by – a{x_0} – b{y_0} + c = 0\)

• Phương pháp giải 2:

Ta có d và d’ song song hoặc trùng nhau, vậy d’ có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\).

Ta tìm 1 điểm thuộc d’.

Ta có \(M\left( {0; – \frac{c}{b}} \right) \in d\), ảnh \(M’\left( {x’;y’} \right) \in d’\), ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x’ = 0 + {x_0} = {x_0}\\y’ =  – \frac{c}{b} + {y_0}\end{array} \right.\)

Phương trình của d’ là : \(a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y + \frac{c}{b} – {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by – a{x_0} – b{y_0} + c = 0\)

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh A’, B’ của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ \({\rm{\vec u  =  (3;1)}}.\) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} {\rm{ }},{\rm{ }}\overrightarrow {{\rm{A’B’}}} {\rm{ }}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({\rm{A’ =  }}{{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}(A) = (5;4){\rm{ }}{\rm{, B’ =  }}{{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}(B) = (4;2){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{AB  = }}\left| {\overrightarrow {{\rm{AB}}} } \right|\, = \sqrt 5 ,{\rm{ A’B’  = }} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{\rm{A’B’}}} } \right|\, = \sqrt 5 {\rm{ }}{\rm{.}}\)

 

Ví dụ 2:

Đường thẳng d cắt Ox tại A(-4;0), cắt Oy tại B(0;5). Viết phương trình tham số của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {5;1} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có một VTCP là: \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {AB}  = (4;5)\)

Vì \({T_{\overrightarrow v }}(d) = d’ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}’}  = \overrightarrow {{u_d}}  = (4;5)\)

Gọi \({T_{\overrightarrow v }}(A) = A’ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A’}} = {x_A} + 5 = 1\\{y_{A’}} = {y_A} + 1 = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'(1;1)\)

Vì \(A \in d \Rightarrow A’ \in d’ \Rightarrow d’:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\,\,(t \in \mathbb{R})\)

 

Ví dụ 3:

Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d: \(x – 2y + 3 = 0\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = ( – 1;2).\)

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Gọi \(M(x;y) \in d,{T_{\overrightarrow v }}(M) = M'(x’;y’) \in d’\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = x – 1\\y’ = y + 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x’ + 1\\y = y’ – 2\end{array} \right. \Rightarrow M(x’ + 1;y’ – 2) \in d\\ \Rightarrow x’ – 2y’ + 8 = 0.\end{array}\)

Vậy phương trình d’ là: \(x – 2y + 8 = 0.\)

Cách 2:

\({T_{\overrightarrow v }}(d) = d’ \Rightarrow d’//d \Rightarrow d’:x – 2y + c = 0\)

Chọn \(M( – 3;0) \in d \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}(M) = M'(x’;y’) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ =  – 3 – 1 =  – 4\\y’ = 0 + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow M'( – 4;2).\)

Mà \(M’ \in d’ \Rightarrow  – 4 – 2.2 + c = 0 \Leftrightarrow c = 8 \Rightarrow d’:x – 2y + 8 = 0.\)

 

Ví dụ 4:

Cho đường tròn \((C):{(x – 2)^2} + {(y – 1)^2} = 4.\) Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( { – 2;2} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) bán kính R=2.

Ta có: \({T_{\overrightarrow v }}(C) = C’ \Rightarrow {R_{C’}} = R = 2\)

\({T_{\overrightarrow v }}(I) = I’ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I’}} = {x_I} + ( – 2) = 0\\{y_{I’}} = {y_I} + 2 = 3\end{array} \right. \Rightarrow I'(0;3)\)

Vậy phương trình (C’) là: \({(x – 0)^2} + {(y – 3)^2} = 4.\)

Cách 2:

Gọi: \({T_{\overrightarrow v }}\left( {M(x,y) \in (C)} \right) = M'(x’;y’) \in (C’) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x’ = x – 1\\y’ = y + 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x’ + 2\\y = y’ – 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M(x’ + 2;y’ – 2)\)

\(M \in \left( C \right) \Rightarrow x{‘^2} + {(y’ – 3)^2} = 4 \Rightarrow (C’):{x^2} + {(y – 3)^2} = 4.\)

 

Ví dụ 5:

Cho \(\,d:\,2x – 3y + 3 = 0;\,{d_1}:2x – 3y – 5 = 0.\)

Tìm tọa độ \(\overrightarrow {\rm{w}} \)có phương vuông góc với d để \({d_1} = {T_{\overrightarrow {\rm{W}} }}(d).\)

Hướng dẫn giải:

Vì \(\overrightarrow {\rm{w}} \) có phương vuông góc với d nên: \(\overrightarrow {\rm{w}}  = k.\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2k; – 3k} \right)\)

Chọn \(M(0;1) \in d \Rightarrow {T_{\overrightarrow {\rm{w}} }}(M) = M’ \in {d_1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M’}} = {x_M} + {x_{\overrightarrow {\rm{w}} }} = 2k\\{y_{M’}} = {y_M} + {y_{\overrightarrow {\rm{w}} }} =  – 3k + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M'(2k; – 3k + 1).\)

\(M’ \in {d_1} \Rightarrow 2.(2k) – 3.( – 3k + 1) – 5 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{{13}} \Rightarrow \overrightarrow {\rm{w}}  = \left( {\frac{{16}}{{13}}; – \frac{{24}}{{13}}} \right).\)