Bài 4. Phép thử và biến cố – Chương 2 – Đại số 11

Phép thử ngẫu nhiên

– Là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử ấy. Ta gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử.

– Tập hợp mọi kết quả của một phép thử được gọi là không gian mẫu, kí hiệu là \(\Omega \).

Biến cố

– Là một tập con của không gian mẫu, kí hiệu là \(A,B,…\)

– Tập hợp mọi kết quả của biến cố \(A\) kí hiệu là \({\Omega _A}\).

– Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\)

Trong đó, \(n\left( {{\Omega _A}} \right)\) là số phần tử của \({\Omega _A}\) và \(n\left( \Omega  \right)\) là số phần tử của \(\Omega \).

Tính chất

+) \(P\left( \emptyset  \right) = 0,P\left( \Omega  \right) = 1\)

+) \(0 \le P\left( A \right) \le 1\)

+) \(A\) và \(\overline A \) là hai biến cố đối thì \(P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( A \right)\)

Ví dụ:  Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất.

1. a) Mô tả không gian mẫu.
2. b) Xác định tập hợp mô tả biến cố $A$: “Xuất hiện mặt chẵn chấm”.
3. c) Xác định xác suất của biến cố \(A\).
4. d) Gọi \(B\)là biến cố: “Xuất hiện mặt lẻ chấm”. Tính xác suất của biến cố $B$.

Giải:

1. a) Không gian mẫu \(\Omega  = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).
2. b) \({\Omega _A} = \left\{ {2;4;6} \right\}\).
3. c) Xác suất của biến cố \(A\)là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
4. d) Ta có: \(B\) là biến cố đối của \(A\) nên \(P\left( B \right) = 1 – P\left( A \right) = 1 – \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\).

Ví dụ 1:

Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của:

a)  Không gian mẫu.

b)  Các biến cố:

A: “ 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”.

B: “ 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.

C: “ 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.

Hướng dẫn giải:

a)  Ta có: \(n(\Omega ) = C_{24}^4 = 10626\)

b)  Số cách chọn 4 viên bi có đúng hai viên bị màu trắng là: \(C_{10}^2.C_{14}^2 = 4095\)

Suy ra: \(n(A) = 4095\).

Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi màu đỏ được chọn là: \(C_{18}^4\)

Suy ra : \(n(B) = C_{24}^4 – C_{18}^4 = 7566\).

Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là: \(C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4\)

Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là:

\(C_{14}^4 + C_{18}^4 + C_{14}^4 – 2(C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4)\)

Số cách lấy 4 viên bị có đủ ba màu là:

\(C_{24}^4 – (C_{14}^4 + C_{18}^4 + C_{14}^4) + (C_6^4 + C_8^4 + C_{10}^4) = 5859\)

Suy ra \(n(C) = 5859\).

Ví dụ 2:

Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi \({A_k}\) là các biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ \(k\)” với \(k = 1,2,3,4\). Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố \({A_1},{A_2},{A_3},{A_4}:\)

A: “Lần thứ tư mới bắn trúng bia’’.

B: “Bắn trúng bia ít nhất một lần’’.

c: “ Chỉ bắn trúng bia hai lần’’.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overline {{A_k}} \) là biến cố lần thứ \(k\) (\(k = 1,2,3,4\)) bắn không trúng bia.

Do đó:

\(A = \overline {{A_1}}  \cap \overline {{A_2}}  \cap \overline {{A_3}}  \cap {A_4}\)

\(B = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3} \cup {A_4}\)

\(C = {A_i} \cap {A_j} \cap \overline {{A_k}}  \cap \overline {{A_m}} \) với \(i,j,k,m \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}\) và đôi một khác nhau.