Kiến thức cần nhớ
– Công thức nhị thức Niu-tơn:
\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}} \) \(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + C_n^2{a^{n – 2}}{b^2} + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
– Quy ước: \({a^0} = {b^0} = 1\)
Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm hệ số của \({x^k}\) trong khai triển
Phương pháp chung:
– Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
– Tìm số hạng có chứa \({x^k}\) và tìm hệ số tương ứng.
Ví dụ 1: Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {2 + x} \right)^5}\)
Giải:
Ta có: \({\left( {2 + x} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{2^{5 – k}}{x^k}} \)
Cho \(k = 3\) ta được hệ số của \({x^3}\) là \(C_5^3{.2^{5 – 3}} = 40\)
Dạng 2: Tính tổng, chứng minh đẳng thức.
Phương pháp chung:
– Sử dụng khai triển
\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + C_n^2{a^{n – 2}}{b^2} + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)
– Bằng cách thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.
Ví dụ 2: Chứng minh \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n = {2^n}\)
Giải:
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}} \)
Quan sát tổng vế trái ta thấy chỉ xuất hiện các \(C_n^k\) nên cho \(a = 1,b = 1\) ta được:
\({\left( {1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{1^{n – k}}{1^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \)\( = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n\)
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán
Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển:
\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}\) với \(x > 0\) (\(p,q\) là các hằng số khác nhau).
Phương pháp giải:
Ta có:
\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {a{x^p}} \right)}^{n – k}}{{\left( {b{x^q}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}{x^{np – pk + qk}}} \)
Số hạng chứa \({x^m}\) ứng với giá trị \(k\) thỏa: \(np – pk + qk = m\).
Từ đó tìm \(k = \frac{{m – np}}{{p – q}}\)
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) là: \(C_n^k{a^{n – k}}.{b^k}\) với giá trị \(k\) đã tìm được ở trên.
Nếu \(k\) không nguyên hoặc \(k > n\) thì trong khai triển không chứa \({x^m}\), hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển
\(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}\) được viết dưới dạng \({a_0} + {a_1}x + … + {a_{2n}}{x^{2n}}\).
Ta làm như sau:
- Viết \(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{{\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)}^k}} \);
- Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng \({\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)^k}\) thành một đa thức theo luỹ thừa của x.
- Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của \({x^m}\).
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
- Tính hệ số \({a_k}\) theo \(k\) và \(n\);
- Giải bất phương trình \({a_{k – 1}} \le {a_k}\) với ẩn số \(k\);
- Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.
Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Tìm hệ số x16 trong khai triền ( x2-2x )10.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \({\left( {{x^2} – 2x} \right)^{10}} = \,{\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^2})} ^{10 – k}}{\left. { – 2x} \right)^k}\)
\(= \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 – 2k}}{x^k}} {\left. { – 2} \right)^k} = \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 – k}}} {\left. { – 2} \right)^k}\)
Ta chọn: 20 – k= 16 \(\Leftrightarrow \,k = 4\)
=> Hệ số x16 trong khai triển là \(C_{10}^4 = 3360\)
Ví dụ 2:
Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1-3x)n là 90. Tìm n.
Hướng dẫn giải:
Với số thực \(x \ne 0\) và với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:
\({(1 – 3x)^n} = \,{[1 – (3x)]^n} = \,\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {(1)^{n – k}}{( – 3)^k}{x^k}\)
Suy ra hệ số của x2 trong khai triển này là \({3^2}C_n^2\). Theo giả thiết, ta có:
\({3^2}C_n^2\) = 90 => \(C_n^2\, = 10\)
Từ đó ta có: \(\frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} = 10\, \Leftrightarrow \,n(n – 1)\, = \,20\)
\(\Leftrightarrow \,{n^2}\, – \,n = \,20\, \Leftrightarrow \,n = \, – 4\) ( loại) hoặc n= 5
Đáp số: n= 5
Ví dụ 3:
Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(f(x) = {\left( {x – \frac{2}{x}} \right)^{12}}{\rm{ (}}x \ne 0).\)
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(f(x) = {(x – 2.{x^{ – 1}})^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{12 – k}}.{{( – 2{x^{ – 1}})}^k}} \)
\(\sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( – 2)}^k}{x^{12 – 2k}}} \)
Số hạng không chứa \(x\) ứng với giá trị \(k\) thỏa mãn: \(12 – 2k = 0\)
\( \Leftrightarrow k = 6 \Rightarrow \) số hạng không chứa \(x\) là: \(C_{12}^6{.2^6} = 59136\).
Ví dụ 4:
Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển sau: \(f(x) = {(3{x^2} + 2x + 1)^{10}}\).
Hướng dẫn giải:
\(f\left( x \right) = {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\)
\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k – i}}.{(3{x^2})^i} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k – i}}{.3^i}{x^{k + i}}\)
với\(0 \le i \le k \le 10\).
Do đó \(k + i = 4\) với các trường hợp \(i = 0,k = 4\) hoặc \(i = 1,k = 3\) hoặc \(i = k = 2\).
Vậy hệ số chứa \({x^4}\): \({2^4}C_{10}^4.C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3.C_3^1 + {3^2}C_{10}^2.C_2^2 = 8085\).
Trả lời