📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A(1; 0; 1)$, $B(2; 1; 2)$, $D(1; -1; 1)$ và $C'(4; 5; -5)$. Tọa độ của đỉnh $A’$ là:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
1. Biểu thức tọa độ vectơ: Cho $M(x_M; y_M; z_M)$ và $N(x_N; y_N; z_N)$, ta có $\overrightarrow{MN} = (x_N – x_M; y_N – y_M; z_N – z_M)$.
2. Hai vectơ bằng nhau: $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ và $\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$ bằng nhau khi và chỉ khi $a_1 = b_1, a_2 = b_2, a_3 = b_3$.
3. Quy tắc hình hộp: Trong hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$, ta luôn có $\overrightarrow{AC’} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Ta tính tọa độ các vectơ xuất phát từ đỉnh $A$:
$$\overrightarrow{AB} = (2 – 1; 1 – 0; 2 – 1) = (1; 1; 1)$$
$$\overrightarrow{AD} = (1 – 1; -1 – 0; 1 – 1) = (0; -1; 0)$$
$$\overrightarrow{AC’} = (4 – 1; 5 – 0; -5 – 1) = (3; 5; -6)$$
Theo quy tắc hình hộp đối với hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$, ta có:
$$\overrightarrow{AC’} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’} \Rightarrow \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{AC’} – \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD}$$
Suy ra tọa độ của $\overrightarrow{AA’}$ là:
$$\overrightarrow{AA’} = (3 – 1 – 0;\; 5 – 1 – (-1);\; -6 – 1 – 0) = (2; 5; -7)$$
Gọi $A'(x; y; z)$, ta có $\overrightarrow{AA’} = (x – 1; y – 0; z – 1) = (2; 5; -7)$, suy ra:
$$\begin{cases} x – 1 = 2 \\ y = 5 \\ z – 1 = -7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 3 \\ y = 5 \\ z = -6 \end{cases}$$
Vậy tọa độ đỉnh $A’$ là $(3; 5; -6)$.
👉 Chọn đáp án: B
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 2; -1)$, $B(2; -1; 3)$ và $C(-3; 5; 1)$. Tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Gọi $D(x; y; z)$. Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; -3; 4)$ và $\overrightarrow{DC} = (-3 – x; 5 – y; 1 – z)$.
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \begin{cases} -3 – x = 1 \\ 5 – y = -3 \\ 1 – z = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -4 \\ y = 8 \\ z = -3 \end{cases}$. Vậy $D(-4; 8; -3)$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 2: Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (1; -2; 2)$ và $\vec{v} = (2; 1; -2)$. Giá trị của $\cos(\vec{u}, \vec{v})$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta có $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = -4$.
Độ dài các vectơ: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$ và $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$.
Do đó $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \dfrac{-4}{3 \cdot 3} = -\dfrac{4}{9}$.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 3: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 0; 2)$, $B(3; 1; -1)$ và $C(2; m; 1)$. Giá trị của tham số $m$ để tam giác $ABC$ vuông tại $A$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; 1; -3)$ và $\overrightarrow{AC} = (1; m; -1)$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot 1 + 1 \cdot m + (-3) \cdot (-1) = 0 \Leftrightarrow m + 5 = 0 \Leftrightarrow m = -5$.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 4: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; -3; 2)$ và $B(5; 1; -2)$. Điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$ có tọa độ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Từ $\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{OM} = \dfrac{\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{4}$.
Suy ra $x_M = \dfrac{1 + 3 \cdot 5}{4} = 4$, $y_M = \dfrac{-3 + 3 \cdot 1}{4} = 0$, $z_M = \dfrac{2 + 3 \cdot (-2)}{4} = -1$. Vậy $M(4; 0; -1)$.
👉 Chọn đáp án: D
Bài tập 5: Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1; 1; 0)$, $B(2; 0; 1)$ và $C(0; 2; 3)$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; -1; 1)$ và $\overrightarrow{AC} = (-1; 1; 3)$.
Tích có hướng $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (-4; -4; 0)$.
Diện tích tam giác $ABC$ là $S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]| = \dfrac{1}{2}\sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 0^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{32} = 2\sqrt{2}$.
👉 Chọn đáp án: A
Để lại phản hồi