📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 1; 1)$ và $B(3; 2; -1)$. Điểm $M$ thuộc trục $Ox$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ có tọa độ là:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết các bài toán tìm điểm trên trục tọa độ hoặc mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện vuông góc trong hệ tọa độ $Oxyz$, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau (thường gặp trong các đề thi thử Toán 12):
- Tham số hóa điểm thuộc trục tọa độ: Điểm $M \in Ox$ có dạng $M(m; 0; 0)$; $M \in Oy$ có dạng $M(0; m; 0)$; $M \in Oz$ có dạng $M(0; 0; m)$.
- Tích vô hướng của hai vectơ: Cho $\vec{u} = (x_1; y_1; z_1)$ và $\vec{v} = (x_2; y_2; z_2)$. Khi đó $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$.
- Điều kiện tam giác vuông tại $M$: Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ khi và chỉ khi $M, A, B$ không thẳng hàng và $\overrightarrow{MA} \perp \overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Vì điểm $M$ thuộc trục $Ox$ nên tọa độ của $M$ có dạng $M(m; 0; 0)$ với $m \in \mathbb{R}$.
Bước 2: Áp dụng công thức tính tọa độ vectơ (mở rộng từ quy tắc cộng vectơ trong không gian), ta có:
$$\overrightarrow{MA} = (1 – m; 1; 1) \quad \text{và} \quad \overrightarrow{MB} = (3 – m; 2; -1)$$
Bước 3: Tam giác $MAB$ vuông tại $M$ khi và chỉ khi:
$$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \Leftrightarrow (1 – m)(3 – m) + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) = 0$$
$$\Leftrightarrow m^2 – 4m + 3 + 2 – 1 = 0 \Leftrightarrow m^2 – 4m + 4 = 0 \Leftrightarrow (m – 2)^2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$$
Kiểm tra lại với $m = 2$, ta có $\overrightarrow{MA} = (-1; 1; 1)$ và $\overrightarrow{MB} = (1; 2; -1)$ không cùng phương nên $M, A, B$ tạo thành một tam giác vuông tại $M$. Vậy $M(2; 0; 0)$.
👉 Chọn đáp án: A
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Bài tập 1: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; -1)$ và $B(3; 0; 3)$. Điểm $M$ thuộc trục $Oy$ cách đều hai điểm $A$ và $B$ có tọa độ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Vì $M \in Oy$ nên $M(0; y; 0)$. Điểm $M$ cách đều $A$ và $B$ khi $MA = MB \Leftrightarrow MA^2 = MB^2$.
Ta có: $1^2 + (2 – y)^2 + (-1)^2 = 3^2 + (0 – y)^2 + 3^2 \Leftrightarrow 6 – 4y + y^2 = 18 + y^2 \Leftrightarrow -4y = 12 \Leftrightarrow y = -3$. Vậy $M(0; -3; 0)$.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 2: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2; -3; 5)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên trục $Oy$. Độ dài đoạn thẳng $HK$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Hình chiếu của $A(2; -3; 5)$ lên $(Oxz)$ là $H(2; 0; 5)$, lên trục $Oy$ là $K(0; -3; 0)$.
Suy ra $HK = \sqrt{(0 – 2)^2 + (-3 – 0)^2 + (0 – 5)^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 3: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 0; -2)$, $B(2; 1; 3)$, $C(0; -1; 4)$. Tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là:
Để lại phản hồi