📌 Đề bài (Trả lời ngắn):
Trong y khoa, khi truyền thuốc liên tục vào tĩnh mạch của một bệnh nhân, nồng độ của thuốc trong huyết tương sau $t$ giờ ($t \ge 0$) được mô hình hóa bởi hàm số: $$C(t) = \frac{15t + 8}{3t + 2}\text{ (mg/L)}$$ Biết rằng khi thời gian truyền kéo dài vô hạn ($t \to +\infty$), nồng độ thuốc trong máu sẽ tiến gần tới một giá trị nồng độ bão hòa ổn định (tương ứng với đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số). Hãy tính nồng độ bão hòa này (theo đơn vị $\text{mg/L}$).
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Trong các bài toán thực tế của chương trình Giải tích lớp 12 (xem thêm tài liệu tại Bộ Đề Ôn Tập Giữa Học Kỳ 1 Môn Toán 12), đường tiệm cận ngang biểu thị giá trị giới hạn ổn định, trạng thái bão hòa hoặc ngưỡng cân bằng lâu dài của một đại lượng khi biến số thời gian $t \to +\infty$.
- Đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(t)$ nếu $\lim_{t \to +\infty} f(t) = y_0$ hoặc $\lim_{t \to -\infty} f(t) = y_0$.
- Đối với hàm phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất $f(t) = \frac{at + b}{ct + d}$ ($c \ne 0$), giới hạn khi $t \to +\infty$ là: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{at + b}{ct + d} = \frac{a}{c}$$
- Ý nghĩa thực tế tương tự bài toán ngưỡng cân bằng sinh thái của quần thể.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Nồng độ thuốc trong máu khi thời gian truyền kéo dài vô hạn được xác định bởi giới hạn của hàm số $C(t)$ khi $t \to +\infty$:
$$\lim_{t \to +\infty} C(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{15t + 8}{3t + 2}$$Chia cả tử số và mẫu số cho $t$ (với $t > 0$):
$$\lim_{t \to +\infty} \frac{15t + 8}{3t + 2} = \lim_{t \to +\infty} \frac{15 + \frac{8}{t}}{3 + \frac{2}{t}} = \frac{15 + 0}{3 + 0} = \frac{15}{3} = 5$$Như vậy, đồ thị của hàm số $C(t)$ có đường tiệm cận ngang là $C = 5$. Điều này thể hiện rằng khi truyền thuốc liên tục và kéo dài, nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sẽ tăng dần và tiệm cận mức bão hòa ổn định là $5\text{ mg/L}$.
👉 Đáp số (kết quả điền số): 5
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn – Điền kết quả số)
Bài tập 1: Một bể chứa $1000$ lít nước ngọt. Người ta bắt đầu bơm nước muối vào bể và khuấy đều. Sau $t$ phút ($t \ge 0$), nồng độ muối trong bể (tính bằng $\text{gam/lít}$) được mô hình hóa bởi công thức $S(t) = \frac{40t + 50}{2t + 5}$. Khi thời gian $t$ tăng lên vô hạn ($t \to +\infty$), nồng độ muối trong bể tiến dần đến bao nhiêu $\text{gam/lít}$?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Tính giới hạn của hàm nồng độ muối khi $t \to +\infty$:
$$\lim_{t \to +\infty} S(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{40t + 50}{2t + 5} = \lim_{t \to +\infty} \frac{40 + \frac{50}{t}}{2 + \frac{5}{t}} = \frac{40}{2} = 20$$👉 Đáp số: 20
Bài tập 2: Một xưởng sản xuất có chi phí cố định là $18$ triệu đồng ($18\,000$ nghìn đồng) và chi phí sản xuất trực tiếp mỗi sản phẩm là $450$ nghìn đồng. Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm khi quy mô sản xuất đạt $x$ sản phẩm ($x > 0$) được cho bởi hàm số $\bar{C}(x) = \frac{450x + 18000}{x}$ (nghìn đồng). Khi số lượng sản phẩm sản xuất $x$ vô cùng lớn ($x \to +\infty$), chi phí trung bình để sản xuất mỗi sản phẩm sẽ tiến dần về bao nhiêu nghìn đồng?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Tính giới hạn của chi phí trung bình khi sản lượng $x \to +\infty$:
$$\lim_{x \to +\infty} \bar{C}(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(450 + \frac{18000}{x}\right) = 450 + 0 = 450$$👉 Đáp số: 450
Bài tập 3: Theo lý thuyết đường cong học tập, sau $t$ tuần được đào tạo kỹ năng ($t \ge 0$), hiệu suất làm việc của một công nhân tại dây chuyền lắp ráp (tính theo phần trăm so với tiêu chuẩn lý tưởng) được xác định bởi hàm số $P(t) = \frac{80t}{t + 4}\%$. Khi thời gian đào tạo kéo dài ($t \to +\infty$), hiệu suất làm việc tối đa mà người công nhân này có thể tiệm cận đạt được là bao nhiêu phần trăm?
(Dạng câu hỏi trả lời ngắn: Điền kết quả vào ô số)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Hiệu suất tối đa tiệm cận khi $t \to +\infty$ là:
$$\lim_{t \to +\infty} P(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{80t}{t + 4} = \lim_{t \to +\infty} \frac{80}{1 + \frac{4}{t}} = 80\%$$👉 Đáp số: 80
Bài tập 4: Số lượng vi khuẩn trong một mẻ nuôi cấy sinh học sau $t$ giờ
Để lại phản hồi